Отчет ИВМ СО РАН за 1999 год

Важнейшие научные достижения 1999 года

• Важнейшие научные достижения 1999 года
• Трехмерная МГД модель обтекания магнитосферы замагниченной плазмой с анизотропным давлением
• Многосеточные и каскадные итерационные алгоритмы
• Методы риск-анализа конструкций потенциально опасных объектов
• Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей

Автор научного результата:
Еркаев Н. В., в.н.с., д.ф.-м.н. (тел. 8-3912–49–51-58).

Ключевые слова:
обтекание, солнечный ветер, магнитная газодинамика, магнитосфера.

Индекс приоритетного направления: 2.2.2.

Характер результата:
завершенный фундаментальный.

Краткое описание результата.
Разработана трёхмерная магнитогазодинамическая модель обтекания солнечным ветром магнитосферы Земли с учётом анизотропии давления и температуры плазмы. В качестве уравнений состояния, определяющих степень анизотропии давления, использовались критерии зеркальной и ионно-циклотронной неустойчивостей в анизотропной плазме. Модель позволила объяснить наблюдаемые особенности течения и магнитного поля вблизи границы магнитосферы.

Аннотация результата.
Задача обтекания солнечным ветром магнитосферы Земли является ключевой в проблеме влияния солнечной активности на состояние магнитосферы и ионосферы Земли. До настоящего времени эта задача решалась различными авторами в рамках магнитогазодинамической (МГД) модели с изотропным давлением плазмы. Однако современные данные, полученные на борту космических аппаратов, показали важность учёта анизотропии давления и температуры плазмы, существенно влияющих на картину обтекания солнечным ветром магнитосферы Земли.
Трёхмерная МГД модель обтекания магнитосферы Земли, включающая эффекты анизотропии температуры и давления, была впервые разработана Еркаевым Н. В. при сотрудничестве с H. Biernat (Space Research Institute of Austrian Academy of Sciences) и C. Farrugia (University of New hampsire, USA). Для замыкания МГД уравнений с анизотропным давлением использовались критерии зеркальной и ионно-циклотронной неустойчивостей, ограничивающих рост анизотропии. Наиболее сложной для расчёта областью является магнитный слой, располагающийся вдоль обтекаемой поверхности и характеризуемый малым отношением газового давления к магнитному.
Разработан метод «магнитной струны», ориентированный на расчёт течения в магнитном слое вблизи обтекаемой поверхности, где анизотропия давления и температуры велика и имеются большие градиенты параметров плазмы.
Результаты модельных расчётов обтекания хорошо согласуются с экспериментальными данными. В частности, вблизи магнитопаузы параллельная магнитному полю компонента скорости убывает по сравнению с изотропной моделью, а перпендикулярная — возрастает. Разработанная модель может применяться для расчёта обтекания не только магнитосферы Земли, но также и магнитосфер других планет.

:

1. Erkaev N. V., Farrugia C. J., Biernat H. K.
   Tree-dimensional, one fluid, ideal MHD model of magnetosheath flow with anisotropic pressure // J. Geophys. Res., 1999. — Vol. 104. — № A4. — P. 6877–6887.

2. Biernat H. K., Erkaev N. V., Farrugia C. J.
   Aspects of MHD flow about Venus // J. Geophys. Res., 1999. — Vol. 104. — № A6. — P. 12617–12626.

3. Erkaev N. V., Farrugia C. J., Biernat H. K.
   Comparison of gasdynamics and MHD predictions for magnetosheath flow // NATO ASI Series, Polar Cap Boundary Phenomena / Edited by J. Moen, A. Egeland and M. Lockwood. Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, The Netherlands, 1998. — Vol. 509. — P. 27-40.

Автор научного результата:
Шайдуров В. В., директор ИВМ СО РАН, чл.-корр. РАН 
(тел. 8-3912–43–27-56).

Ключевые слова:
линейные и квазилинейные уравнения математической физики, сеточные аппроксимации, каскадные и многосеточные итерационные алгоритмы.

Индекс приоритетного направления: 2.2.2.

Краткое описание результата:
завершенный фундаментальный.

Содержание результата.
Построены новые каскадные и многосеточные алгоритмы решения сеточных аналогов стационарных задач математической физики, в том числе для квазилинейных уравнений с коэффициентами и правой частью, зависящими от решения. В основу положен трёхслойный итерационный процесс с параметрами, получаемыми путём решения оптимизационной задачи. Теоретически доказана и экспериментально подтверждена неулучшаемая характеристика алгоритма — линейная зависимость количества арифметических операций от числа неизвестных сеточной задачи.

Аннотация результата.
При аппроксимации стационарных (независящих от времени) задач математической физики методами конечных разностей или конечных элементов получаются системы алгебраических уравнений больших размерностей. К настоящему времени для решения таких линейных систем хорошо зарекомендовали себя многосеточные и каскадные итерационные алгоритмы, показывающие для некоторых классов задач рекордную и неулучшаемую характеристику эффективности — линейную зависимость количества арифметических операций от числа неизвестных. Основой этих алгоритмов является решение однотипных алгебраических систем, получаемых дискретизацией дифференциальной задачи на последовательности измельчающихся сеток.
В течение последних лет решено несколько узловых вопросов по расширению применимости этих алгоритмов и улучшению их характеристик. Для трехмерных областей с криволинейной границей решены вопросы триангуляции с целью создания вложенных последовательностей аппроксимирующих пространств, что расширило применение каскадных и многосеточных алгоритмов для ряда трехмерных задач.
Для каскадного алгоритма построен специальный вычислительно устойчивый трехслойный итерационный процесс с параметрами, настраиваемыми на определенный класс линейных алгебраических систем с симметричными и несимметричными, положительно определенными и знаконеопределенными матрицами.
Построены две модификации каскадного алгоритма для решения нелинейных сеточных аналогов квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с коэффициентами и правой частью, зависящими от решения (но не от его производных). Для перечисленных задач доказана и экспериментально подтверждена указанная характеристика эффективности.
Построенные алгоритмы являются новыми в мировой практике и обладают рекордным среди других методов показателем эффективности.
Созданные алгоритмы позволяют существенно повысить эффективность и расширить возможности применения вычислительной техники для решения сеточных аналогов уравнений, полученных методами конечных разностей или конечных элементов для стационарных (независящих от времени) линейных и квазилинейных уравнений математической физики.

:

1. Шайдуров В. В.
   О каскадной организации итерационных алгоритмов // ДАН, 1998. — Т. 359. — № 5. — С. 600–603.

2. Гилёва Л. В.
   Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для трёхмерной задачи Дирихле // Сибирский журнал вычислительной математики, 1998. — Т. 1. — № 3. — С. 217–226.

3. Gilyova L. V., Shaidurov V. V.
   A cascade algorithm for solving a discrete analogue of weakly nonlinear elliptic equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 1999. — Vol. 14. — № 1. — P. 59-69.

Авторы научного результата:
Москвичев В. В., зам. директора ИВМ СО РАН, д.т.н., профессор
(тел. 8-3912–43–26-56);
Лепихин А. М., зав. лаб., к.т.н.;
Доронин С. В. с.н.с., к.т.н.

Ключевые слова:
безопасность, риск, конструкция, дефект, статистическое моделирование.

Индекс приоритетного направления: 2.2.3.

Характер результата:
завершенный фундаментальный.

Краткое описание результата.
На основе вероятностных представлений механики разрушения разработаны модели и методы риск-анализа конструкций потенциально опасных объектов. Для стадий проектирования и эксплуатации при освидетельствовании технического состояния объектов и систем создан расчетно-экспериментальный комплекс оценки показателей конструкционного риска и безопасного ресурса конструкций. Получены оценки риска аварий ряда объектов с учетом вариаций параметров технического состояния конструкций и условий их эксплуатации.

Аннотация результата.
По результатам статистического моделирования процессов деформирования и разрушения в зонах конструктивных концентраторов напряжений построены вероятностные модели напряженно-деформированных состояний конструкций с технологическими дефектами и эксплуатационными повреждениями. Проведены численные исследования процессов разрушения конструкций в условиях аварийных ситуаций. Получены оценки силовых и энергетических параметров разрушения стохастически дефектных элементов конструкций при упругом и упругопластическом нагружениях. Показано, что эффекты вариаций нагрузок не оказывают существенного влияния на вид закона распределения тензора напряжений в опасных сечениях конструкций. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение конечно-элементного и гранично-элементного моделирования напряженно-деформированных состояний конструкций, оценки показателей конструкционного риска и безопасного остаточного ресурса в аварийных ситуациях.

:

1. Moskvichev V. V., Lepikhin A. M., Doronin S. V.
   Statistical fracture modelling of weld joint for nuclear reactor components // Theoretical and applied fracture mechanics. — 1998. — Vol. 29. — P. 103–107.

2. Лепихин А. М., Махутов Н. А., Москвичев В. В., Доронин С. В.
   Вероятностное моделирование докритического роста трещин и оценка ресурса конструкций // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 1999. — № 5. — С. 117–124.

3. Mockvichev V. V., Lepikhin A. M.
   Reliability and Safety of Pipeline Witch Technological and Operating Damages // Proc. of the 5th Int. Conf. Of Northeast Asian Natural Gas Pipeline. — Yakutsk, IPTPN. — 1999. — P. 401–403.

Автор научного результата:
Капцов О. В., в.н.с., д.ф.-м.н. (тел. 8-3912–49–47-58).

Ключевые слова: точные решения, дифференциальные связи, неклассические симметрии.

Индекс приоритетного направления: 1.1.1.

Характер результата:
завершенный фундаментальный.

Краткое описание результата.
Разработан метод нахождения дифференциальных связей, основанный на новых линейных определяющих уравнениях. Уравнения обобщают классические определяющие уравнения, служащие для нахождения допускаемых операторов Ли. В качестве приложений данного подхода рассмотрены модели идеальной несжимаемой жидкости, нелинейной теплопроводности и эволюционные уравнения третьего порядка.

Аннотация результата.
Исследования переопределенных систем уравнений с частными производными восходят к прошлому веку. Известно, что значительное число точных решений уравнений можно получить, выделяя эти решения с помощью дифференциальных связей. Проблема нахождения всех дифференциальных связей, совместных с некоторыми уравнениями, может оказаться сложнее решения этих уравнений. Поэтому обычно ограничиваются поиском только определенных классов связей, причем соответcтвующие классы необходимо заранее задавать, исходя из каких-либо дополнительных соображений.
В цикле работ О. В. Капцова для построения дифференциальных связей разработан подход, основанный на вспомогательных линейных уравнениях. Эти уравнения обобщают классические определяющие уравнения, используемые для нахождения допускаемых инфинитезимальных операторов Ли.
В ходе исследований получено уравнение, которому должны подчиняться все инвариантные дифференциальные связи, совместные с произвольным эволюционным уравнением второго порядка. Этот результат послужил основой для введения новых линейных определяющих уравнений.
Данный метод позволил найти неклассические симметрии для уравнения вращательно-симметричного течения идеальной жидкости, выделить уравнения нелинейной теплопроводности и эволюционные уравнения третьего порядка, обладающие дифференциальными связями высоких порядков. Построены неинвариантные решения нелинейного уравнения «быстрой диффузии».

:

1. Капцов О. В.
   Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей // Математический сборник. — 1998. — Т. 189. — № 12. — С. 103 -118.

2. Andreev V. K., Kaptsov O. V., Pukhnachov V. V., Rodionov A. A.
   Applications of group-theoretical methods in hydrodynamics. Kluwer Academic Publishers. — 1998. — 396 p.

3. Каptsov О. V.
   Determining equations and differential constraints // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 1995. — Vol. 2. — № 3-4. — P. 283–291.