Отчет ИВМ СО РАН за 1997 год

Программы фундаментальных исследований Сибирского отделения Российской Академии Наук

• Программа 1. Фундаментальные исследования в области математики и ее приложений
• Тема 2. «Алгебро-логические исследования дискретных систем»
• Тема 3. «Вычислительные методы решения дифференциальных уравнений».
• Тема 4. «Статистические и численные методы решения некоторых задач стохастического и интервального анализа».
• Программа 5. Математическое моделирование, информационные технологии и вычислительная техника
• Программа 7. Механика, научные основы машиностроения и надежности машин

Программа 1. Фундаментальные исследования в области математики и ее приложений

Этап 1997 года:
Построение оптимальных подалгебр для уравнений неоднородной тяжелой жидкости, анализ точных решений. Исследование стуктуры алгебры Ли уравнения одномерных течений газа. Продолжение изучения класса T_o-групп. Характеризация групп, обладающих почти локально разрешимой периодической частью конечного ранга. Построение примеров групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение. Применение компьютерной алгебры для построения решений уравнений, допускающих бесконечномерные алгебры Ли-Беклунда.

Для уравнений движения неоднородной жидкости в плоском случае построена оптимальная система подалгебр первого порядка. На каждом из операторов из θ₁! выписана фактор-система. Решена задача построения оптимальных систем θ₁ и θ₂ для уравнений вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости (Родионов А. А.).

Получено трилинейное представление уравнения Цицейки, позволяющее находить точные многопараметрические решения. Данное представление является обобщением хорошо известных билинейных уравнений Хироты. Найдено преобразование типа Мутара-Дарбу, сохраняющее представление нулевой кривизны для уравнения Цицейки. Доказана коммутативность этого преобразования и выведена его предельная форма. С помощью найденного преобразования дано обоснование N-солитонной формулы решений уравнения Цицейки (Капцов О. В.,ШанькоЮ.В.).

Продолжалось изучение групп с различными условиями конечности, в частности, класса T₀-групп. Доказан ослабленный вариант характеризационной теоремы о T₀-группах. Получена характеризация групп, обладающих почти локально разрешимой периодической частью конечного ранга.

Решен вопрос Шункова В. П. о взаимоотношении введенных им двух классов групп (Сиб. матем. журнал, 1993 г.): найдено условие совпадения классов Φ₀-групп и T₀-групп, построен пример, разделяющий классы Φ₀-групп и T₀-групп. Охарактеризован класс групп со слойно конечными периодическими частями в классах периодических и смешанных групп. Выделены классы групп, разложимых в обобщенно равномерное произведение своих силовских подгрупп (ШунковВ.П.,Сенашов В. И.).

:

1. Андреев В. К.
   Групповая классификация универсального уравнения одномерных течений газа // Тезисы докл. межд. конф. «Математические модели и методы их исследования». — Красноярск, КрасГУ, ВЦК СО РАН. 1997. — С. 8.

2. Родионов А. А.
   Уравнения вращательно-симметричного движения жидкости, оптимальная система подалгебр θ₁ и θ₂ // Там же. — С. 158. Родионов А. А.Оптимальная система подалгебр первого порядка для уравнений плоского движения неоднородной жидкости // Труды сем. «Математическое моделирование в механике». — Красноярск, ВЦК СО РАН. — С. 139–149. — Рукопись деп. в ВИНИТИ № 446-В97 от 12.02.97.

3. Родионов А. А.
   Оптимальная система подалгебр первого порядка для уравнений вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости // Там же. С. 150–162.

4. Kaptsov O. V., Shan'ko Yu.V.
   Trilinear representation and the Moutard transformation for the Tzitzeica equation. — Prenrint solvint / 9704014 Los Alamos National Laboratory (USA)(e-mail address xxx.lanl.gov/list/solv-int/9704).

5. Капцов О. В., Шанько Ю. В.
   Преобразование Мутара и точные решения уравнения Цицейки // Тезисы докладов международной конференции «Математические модели и методы их исследования». — Красноярск, 1997. — C. 97-98.

6. Капцов О. В., Шанько Ю. В.
   Солитонные решения уравнения Цицейки и преобразования Мутара-Дарбу. - Красноярск, 1997. — 12 с. — Препринт / КрасГУ.

7. Сенашов В. И.
   Разделение двух классов бесконечных групп // Тез. докл. Междунар. конф. «Математические модели и метод их исследования ", 1997. — Красноярск, КрасГУ, 1997. — С. 165.

8. Остыловский Ал. Н.
   О сопряженно бипримитивно конечных группах с локально разрешимой периодической частью // Сб. научн. тр. «Алгебраические системы». — Красноярск, 1996. — С. 16-23. — Препринт / ВЦК СО РАН; № 19.

9. Сенашов В. И.
   О некоторых вопросах Шункова В. П. // Там же. — С. 10-15.

10. Сенашов В. И.
    Группы со слойно конечной периодической частью // Сиб. мат. журн. — 1997. — Т. 38. — № 6. — С. 1374–1386.

Этап 1997 года:
Разработка и обоснование неоднородных разностных схем повышенного порядка точности для уравнений эллиптического и параболического типов. Построение алгоритмов интегрирования жестких систем на основе (m,k)-методов с тремя вычислениями правой части с применением оценки полной ошибки.

Для уравнений в частных производных второго порядка эллиптического и параболического типа построены новые неоднородные устойчивые разностные схемы четвертого порядка точности (Быкова Е. Г., Шайдуров В. В.).

С применением оценки глобальной ошибки построены алгоритмы интегрирования жестких неавтономных систем на основе (m,k)-методов третьего порядка точности (Новиков Е. А.).

Обоснован ряд каскадных итерационных методов на последовательности сеток для решения сеточных аналогов линейных трехмерных краевых задач для эллиптичеких уравнений и систем второго порядка. Получены оценки, гарантирующие наименьший показатель степени зависимости числа арифметических операций от числа неизвестных (Гилева Л. В., Шайдуров В. В.).

:

1. Быкова Е. Г., Шайдуров В. В.
   Двумерная неоднородная разностная схема повышенного порядка точности. - 1996. — 20 c. — Препринт / ВЦК СО РАН № 23.

2. Быкова Е. Г., Шайдуров В. В.
   Неоднородная одномерная разностная схема шестого порядка точности. — 1997. — 15 c. — Рукопись деп. в ВИНИТИ № 1732-B97.

3. Быкова Е. Г., Шайдуров В. В.
   Неоднородная одномерная разностная схема шестого порядка точности. - 1996. — 16 c. — Препринт / ВЦК СО РАН № 20.

4. Gilyova L. V., Shaidurov V. V.
   A cascadic multigrid algorithm in the finite element method for the plane elasticity problem // East West J. Numer. Math., 1997. — Vol. 5. — № 1.

5. Гилeва Л. В., Шайдуров В. В.
   Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для задачи теории упругости // Тезисы докл. международ. конф. «Математические модели и методы их исследования». — Красноярск, 1997. — C. 49.

Этап 1997 года:
Развитие теории вероятностных рейтингов и их статистической устойчивости. Применение теории рейтингов в финансово — актуарной области и наукометрии.

Развита теория вероятностных распределений, которая поддерживает анализ различного рода рейтингов.

Предложен нетрадиционный подход к решению так называемой «проблемы десятиборца», который опирается на новое понятие вероятностного рейтинга по множеству признаков. Полученное решение свободно от обычного субъективного выбора весов признаков и позволяет одновременно оценить объекты с различных сторон, ранжировав их в общем рейтинге. Вероятностные рейтинги дают уникальную возможность проводить сравнительный анализ рейтингов по различным множествам признаков, используя обычные свойства вероятности на алгебре событий.

Рассмотрены применения теории вероятностных рейтингов в финансово — актуарной области и наукометрии и высшем образовании.

:

1. Воробьев О. Ю., Воробьев А. О.
   Вероятностные рейтинги по множеству признаков. — Красноярск, 1996. — 15 c. — Препринт / ВЦК СО РАН № 21.

2. Воробьев О. Ю.
   Репутационное ранжирование университетских образовательных программ // Материалы межвуз. конф. «Методическое обеспечение учебного процесса». Ч. I. — Красноярск: КрасГУ, 1997. — C. 41-45.

3. Воробьев О. Ю.
   Случайно-множественный анализ в финансово-актуарной области // Тезисы конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения». — Омск, ИИТиПМ СО РАН. — C. 42.