Математические модели и методы интегрирования

Equivalence transformations play one of the important roles in continuum mechanics. These transformations reduce the original equations to simpler forms. One of the classes of nonlocal equivalence transformations is the class of reciprocal transformations. Despite the long history of applications of such transformations in continuum mechanics, there is no method of obtaining them. Recently such a method was proposed. The method uses group analysis approach and it consists of similar steps as for finding equivalence group of transformations. The new method provides a systematic tool for finding classes of reciprocal transformations (reciprocal equivalence group of transformations). Similar to the classical group analysis this approach can be also applied for finding all discrete reciprocal transformations (not only composing a group). For an illustration the method is demonstrated by several models applied in hydrodynamics. The author is very thankful to Professor Colin Rogers for attracting my attention to reciprocal transformations.

Представлено общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с рациональной правой частью, возникающего при построении асимптотик при больших значениях времени совместных решений уравнения Кортевега-де Вриза и стационарной части его высшей неавтономной симметрии, определяемой линейной комбинацией первой высшей автономной симметрии уравнения Кортевега-де Вриза и его классической симметрии Галилея. По теореме о неявной функции данное общее решение локально находится из первого интеграла, явно выписанного в терминах гипергеометрических функций. Частный случай этого общего решения определяет автомодельные решения уравнений Уизема, найденные ранее Г. В. Потеминым в 1988 г. (В известных работах А. В. Гуревича и Л. П. Питаевского начала 70-х годов было установлено, что данные решения уравнений Уизема в главном порядке описывают возникновение незатухающих осциллирующих волн в широком ряде задач с малой дисперсией.) Результат статьи вновь подтверждает эмпирическое правило: из интегрируемых уравнений в результате различных предельных переходов могут получаться лишь в том или ином смысле интегрируемые уравнения. Выдвигается общая гипотеза: интегрируемые обыкновенные дифференциальные уравнения, подобные рассматриваемому в статье, должны возникать и при описании асимптотик при больших временах других симметрийных решений эволюционных уравнений, допускающих применение метода обратной задачи.

The work is devoted to the construction of a self-similar solution for the far region of a swirling turbulent wake. The algebraic Rodi model is considered, which is a simplification of differential equations for the transfer of components of the Reynolds stress tensor. A group-theoretic analysis of the model is carried out. The reduced system was solved numerically using a modified shooting method. A detailed comparison of the constructed self-similar solution with results obtained by G. G. Chernykh and A. G. Demenkov by direct numerical integration of the model equations is performed.

A fall of a particle to the center of a singular potential is one of a few fundamental problems of quantum mechanics. Nonetheless, its solution is not complete yet. The known results just indicate that if the singularity of the potential is strong enough, the spectrum of the Schrodinger equation is not bounded from below. However, the wave functions of the problem do not admit the limiting transition to the ground state. Therefore, the unboundedness of the spectrum is only a necessary condition. To prove that a quantum particle indeed can fall to the center, a wave function describing the fall should be obtained explicitly. This is done in the present paper. Specifically, an exact solution of the time-dependent Schrodinger equation corresponding to the fall is obtained and analyzed. A law for the collapse of the region of the wave function localization to a single point is obtained explicitly. It is shown that the known necessary conditions for the particle to fall simultaneously are sufficient.

Геннадием Элем в 2003 году было выведено нелокальное кинетическое уравнение, описывающее солитонный газ произвольной плотности. В пределе разреженного газа, это уравнение переходит в кинетическое уравнение, полученное В. Е. Захаровым в 1971 году. Для изучения свойств нелокального кинетического уравнения Эля был использован дельта-функциональный анзац Дирака, который привёл к диагональной полугамильтоновой системе гидродинамического типа (Г. А. Эль, А. М. Камчатнов, М. В. Павлов, С. А. Зыков, 2008). Было не только найдено общее решение, но и выделен частный класс — глобальных решений, связанных с гиперэллиптическими алгебраическими кривыми.

Позднее этот же анзац был обобщён на не-изоспектральный случай (Г. А. Эль, В. Б. Таранов, М. В. Павлов, 2012), где была впервые в научной литературе получена недиагонализуемая система гидродинамического типа, приведённая к блочно-диагональной структуре (жордановы блоки 2х2). Там же была сформулирована гипотеза, что эта система уравнений также интегрируема методом обобщённого годографа Царёва.

Совсем недавно (Е. В. Ферапонтов, М. В. Павлов, 2021) удалось построить общую теорию таких (жордановы блоки 2х2) блок-диагональных систем гидродинамического типа.

В качестве примера была детально рассмотрена система из предыдущей работы. Было доказано прямым вычислением, что эта система уравнений интегрируема методом Царёва, и, более того, для неё было найдено общее решение.

The Kadomstev—Petviashvili equation is one of the fundamental equations in the theory of integrable systems. The KP equation comes in two physically distinct forms: KP-I and KP-II. The KP-I equation has a large family of rational solutions known as lumps. A single lump is a spatially localized soliton, and lumps can scatter on one another or form bound states. The KP-II equation does not have any spatially localized solutions, but has a rich family of line soliton solutions.

I will discuss two new families of solutions of the KP-I equation, obtained using the Grammian form of the tau-function. The first is the family of lump chain solutions. A single lump chain consists of a linear arrangement of lumps, similar to a line soliton of KP-II. More generally, lump chains can form evolving polygonal arrangements whose structure closely resembles that of the line soliton solutions of KP-II. I will also show how lump chains and line solitons may absorb, emit, and reabsorb individual lumps.

Проблема упрощения вложенных радикалов над произвольными числовыми полями изучалась многими авторами. Случай вещественных радикалов над вещественными полями несколько проще (по крайней мере, теоретически). В частности, известен полиномиальный алгоритм упрощения дважды вложенных вещественных радикалов, который, однако, не гарантирует полного упрощения, если уровень вложенности превышает два. В докладе предполагается дать развернутую презентацию теории, которая предоставляет алгоритм упрощения трижды вложенных радикалов над полем вещественных чисел. Также будут даны некоторые новые примеры трижды (и более) вложенных вещественных радикалов, которые нельзя упростить.

In this review talk we expose remarkably tight relations between the four topics mentioned in the title. Starting from the paper by N. H. Abel published in 1826 and subsequent results of Chebyshev and Zolotarev we finish at the recent results by Burskii, Zhedanov, Malyshev (et al.) devoted to algorithmic decidability of some identities for the values of the Weierstrass P-function, unexpected elementary geometric applications and many, many more hidden equivalences in seemingly unrelated areas of analysis, modern computer algebra and geometry.

This talk will be given in Russian, the English version was presented on 16–09–2021 at Beijing-Novosibirsk seminar on geometry and mathematical physics (http://english.math.pku.edu.cn/conferences/244.html). The video and slides of that talk can be found at https://cloud.mail.ru/public/S4Pp/wJ5iFcggM

A symmetry group of the three-dimensional Kadomtsev — Petviashvili equation is calculated. An example of an invariant solution is given. Exact solutions for the equation under study in the form of double waves are revealed. The resulting solutions are expressed in terms of elementary functions and describe an interaction between a pair of solitons. Smooth bounded rational solutions are also constructed.

Определение времени жизни свободного нейтрона пучковым методом и «bottled» методом дают ощутимо разные значения [1], [2]. И эту разницу пока не удается объяснить ни недостаточной точностью методов, ни релятивистской поправкой. В пучковом методе нейтроны движутся со скоростью порядка 10000 км/сек, а в «bottled» методе значительно медленнее.
С другой стороны можно построить преобразования координат инерциальных систем отсчета отказавшись от непосредственного сравнения подвижных и неподвижных объектов и от предположения о конечности скорости света [3]. Эти преобразования приводят к наличию предельной скорости. И при определенной договоренности о выборе базисов совпадают с преобразованиями Лоренца (если принять эту предельную скорость за скорость света). При этом поправка на замедление времени не обязана совпадать с общепринятой в специальной теории относительности.

1. A. T. Yue, M. S. Dewey, D. M. Gilliam, G. L. Greene, A. B. Laptev, J. S. Nico, W. M. Snow, and F. E. Wietfeldt Improved Determination of the Neutron Lifetime // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 111. P. 222501. arXiv:1309.2623v2 [nucl-ex] 27 Nov 2013.
2. Серебров А. П. Разногласие между методом хранения ультрахолодных нейтронов и пучковым методом при измерении времени жизни нейтрона, УФН, т. 189, № 6, с. 635–641.
3. Talyshev A. A. On the Geometric Approach to Transformations of the Coordinates of Inertial Frames of Reference, 'Nonlinear Dynamics, Chaos, and Complexity', Higher Education Press, Springer, 2021, pp. 113–124.

Под распространяющейся волной в линейной теории обычно понимает функцию f(x – ct) с произвольной зависимостью от других пространственных координат (здесь t – время, и x — координата). Их нахождение в случае одной пространственной координаты сводится к решению в простейшем случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Более сложно найти бегущие волны в волноводах со сложной поперечной структурой, и, например, нахождение бегущих волн в жидкости со свободной поверхностью стало предметом специального раздела нелинейной математики. Если параметры среды меняются медленно во времени или плавно в пространстве, то волна локально описывается теми же выражениями, что и в однородной среде, а изменение амплитуды и фазы волны находится с помощью лучевых методов, или более строго с помощью асимптотической процедуры. Уже давно было отмечено, что в некоторых случаях асимптотические решения являются точными и не требуют плавности изменения параметров среды. При этом возникают вопросы, являются ли такие решения бегущими волнами, если среда не является плавно неоднородной. В настоящем докладе эта проблема обсуждается применительно к волнам на воде. Показывается, что существуют несколько профилей переменной глубины, когда асимптотические решения для линейных волн становятся точными решениями. Такие решения всегда имеют сингулярные точки. Наряду с монохроматическими волнами, получены решения в виде бегущих импульсов, и исследована их форма. В частности, для одного класса донной геометрии поверхностная волна должна быть знакопеременной, при этом волна скорости частиц меняет свою форму по мере распространения. Получены соответствующие решения начальной задачи, демонстрирующие особенности формирования бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях, при этом в общем случае формируется зона переменного течения между двумя разбегающими волнами. Эти решения применяются для изучения трансформации и отражения волны от излома глубины. Несмотря на «точечность» отражения, форма отраженной и преломленной волны меняется кардинально, в частности для любой формы падающей волны, трансформированная волна является знакопеременной. Приводятся примеры бегущих волн в атмосферной акустике, солнечной атмосфере и физики внутренних волн в стратифицированной жидкости. Существенно меньше результатов получено в нелинейной задаче.

Подмодель идеального газа, инвариантная относительно переносов по времени и по одному пространственному направлению в случае вихревых движений имеет 4 интеграла. Для функции тока и удельного объема получена система нелинейных дифференциальных уравнений 3-го порядка с одним произвольным элементом, включающим в себя уравнение состояния и произвольные функции интегралов. Найдены преобразования эквивалентности по произвольному элементу. Решена задача групповой классификации. Получена оптимальная система неподобных подалгебр для алгебр из групповой классификации. Рассмотрены примеры инвариантных решений, описывающие вихревые движения газа с переменной энтропией, в том числе точечный источник или сток. На двумерных подалгебрах получены аналоги простых волн.

One of the well-known classes of solutions of many models of continuum mechanics is a set of solutions called simple wave-type solutions. From the method of differential constraints point of view, this class of solutions is described by homogeneous differential constraints. Application of the method of differential constraints allows one to generalize this class. The main feature of this class of solutions is that finding a solution of the original system of equations is reduced to solving a system of ordinary differential equations. In particular, the presentation will show that finding a solution of any Cauchy problem of a homogeneous system of equations written in Riemann invariants, admitting a differential constraint, is reduced to solving the Cauchy problem of system of ordinary differential equations. This is similar to the method of characteristics for a partial differential equation with a single dependent variable. Illustrations of solutions for some initial data are given. Several models will be demonstrated in the presentation.

В работе найдены общие решения для некоторых классов линейных волновых уравнений с переменными коэффициентами. Такие уравнения описывают колебания стержней, акустические волны, а также к ним сводятся некоторые модели газовой динамики. Для построения решений используются преобразования типа Леви, которые являются дифференциальными подстановками первого порядка и их итерациями. Приводятся конкретные примеры общих решений, зависящих от производных произвольных функций.

В докладе исследуется переопределенная система уравнений в частных производных, являющаяся двумерным аналогом общей трехмерной системы, задача исследования на совместность которой была поставлена в статье Л. В. Овсянникова «О «простых» решениях уравнений динамики политропного газа». Рассматриваемая система описывает так называемые тепловые (с постоянной плотностью) движения политропного газа. К этой же системе сводятся изотермические (с постоянной скоростью звука) движения газа при показателе адиабаты не равном 1. В гидродинамике данная система задает двумерные движения жидкости с дополнительным условием постоянства давления в частице. Это условие позволяет интерпретировать каждое ее решение, как движение жидкости со свободной границей. Система приведена к пассивному виду и полностью проинтегрирована.

The asymptotic approach is suggested for the description of interacting surface and internal oceanic solitary waves. This approach allows one to describe a stationary moving wave patterns consisting of two plane solitary waves moving at an angle to each other. The results obtained within the approximate asymptotic theory is validated by comparison with the exact two-soliton solution of the Kadomtsev–Petviashvili equation. The suggested approach is equally applicable to a wide class of non-integrable equations too. As an example, the asymptotic theory is applied to the description of wave patterns in the 2D Benjamin–Ono equation describing internal waves in the infinitely deep ocean containing a relatively thin one of the layers.

The symmetries of a one-dimensional system of shallow water equations over an uneven bottom in Euler’s variables are classified. Based on the results of the group classification obtained, it is concluded that it is possible to reduce the one-dimensional system of shallow water equations to a linear system of equations using point transformations only in the cases of horizontal and inclined bottom profiles. We also classify the contact symmetries of the one-dimensional shallow water equation over an uneven bottom in Lagrangian’s variables.

The hydrodynamic conservation laws of a one-dimensional system of shallow water equations in Eulerian’s variables are classified. A new basic conservation law is obtained. The first-order conservation laws of the one-dimensional shallow water equation in Lagrangian’s variables are classified.

A three-parameter family of exact solutions of a one-dimensional system of shallow water equations over an inclined bottom is obtained and investigated, describing the ”step’’ wave's arrival on the shore and its reflection from it. The nonlinear the overwash effect and the effect of the amplification of the incoming wave when it is reflected from the shore are described.

The sets of ODE solutions, with initial data belonging to the initial data regions, have complex boundaries (boundary surfaces in the dimension space). For the boundaries of the sets of solutions (surfaces in the space of solutions), it is impossible to choose formulas of functions with the help of which it was possible to describe the boundaries. As a result, there are two possibilities — either to describe the values of the boundary surfaces in a set of discrete points (on a grid), or to calculate their estimates of the maximum values in the directions of the coordinate axes, or the maximum in any chosen direction. The paper investigates and further uses the injectivity property of solutions to ODEs. For linear systems of ODEs the shift operator is linear and monomorphic (i.e., injective). These properties are also possessed by the resolving operator, which associates with the initial value the solution of the corresponding Cauchy problem (the entire solution, not its value at a point) as an element of space.

For nonlinear ODE systems that have unique solutions in a certain region of initial data, the boundaries of the regions of initial data pass into the boundaries of the regions of solutions at each specific moment in time. The class of such nonlinear ODE systems consists of systems whose solutions are uniformly bounded (Lagrange stable). Preliminarily, it is useful to construct a regularization of estimates for the boundaries of the solution sets, passing to the linear approximation of the original system. Regularization is understood as finding information about sets of exact solutions. This regularization establishes the values of compression / expansion in the given directions, offset along the time axis, and rotation through some angle. Examples of stability studies on a finite time interval are given.