Математические модели и методы интегрирования

Исследованы симметрии классической модели Гейзенберга. Показано, что такими симметриями являются группы конформных преобразований и вращений. Изучена инвариантность вихревых структур относительно группы вращений. Применение найденных преобразований группы вращений полей к уже найденным решениям модели Гейзенберга (таким как инстантоны, вихревые «мишени» и «спирали») порождает другие структуры — также решения этой модели, свойства которых определяются исходными структурами.

Ключевые слова: модель Гейзенберга, ферромагнетик, вихрь, группы Ли

Уже в 90-х годах прошлого века были предложены алгоритмы решения линейных систем с числом уравнений, меньшим, чем число неизвестных, при условии, что среди неизвестных лишь небольшое число ненулевых (однако нам неизвестно, какие из них ненулевые!).

Новый этап был открыт в начале 2000-х с появлением работ, авторами которых были известный специалист в численных методах обработки сигналов David Donoho и математик-лауреат Филдсовской премии Terence Tao и их ученики. Результаты в этой области были удостоены премии Гаусса 2018 г. (премия Международного математического союза), были доложены как пленарные доклады на Международном конгрессе математиков и т.д.

После работ Донохо, Тао и многих других исследователей прогресс в данной области развивался поистине стремительными темпами. Сама теоретическая область получила название compressive sensing или compressed sensing (наряду с более давним именем sparse recovery). Практические применения очень обширны и привести исчерпывающий список просто невозможно.

Наиболее известны применения этих результатов в обработке сигналов. Особо следует отметить успехи, достигнутые с помощью технологий sparse recovery в магнитно-резонансной томографии (Magnetic resonance imaging = MRI), что позволило в несколько раз сократить время, проводимое пациентами в аппарате МРТ и улучшить качество получаемого изображения.

В докладе будут рассказаны об основных идеях этой области и о небольшом практическом применении в задаче нахождения разрывов в зашумленном сигнале.

В приближении идеальной магнитной гидродинамики рассмотрена одномерная задача о распространении линейных альфвеновских волн в стационарном неоднородном течении плазмы вдоль прямого однородного магнитного поля. Найдены четыре семейства течений, в которых обе волны произвольной формы, ускоренная и замедленная течением, могут распространяться независимо друг от друга, т.е. без отражения. Показано, что в двух семействах течений обе волны имеют аналогичную структуру, а в двух других семействах их структуры существенно различаются.

Доклад посвящен доказательству того факта, что при $t\neq 0$ все локально голоморфные решения системы ОДУ 
$$(y_j)'''_{xxx}=S_j(x,t,y_j, u,(y_j)'_x, u'_x)=2u'_xy_j+4(u-\lambda_j)(y_j)'_x,\; (j=1, \dots,n),$$
где $u=\frac{x}{6t}+\frac{1}{3t}\sum_{j=1}^n y_j$ мероморфно продолжимы на всю комплексную плоскость изменения переменной $x$. Данная система ОДУ при $n=1$ эквивалентна уравнению Пенлеве 34 (которое, в свою очередь, выражается через решения второго уравнения Пенлеве). Она была введена в рассмотрение в недавней статье V. E. Adler, M. P. Kolesnikov, JMP, 2023. Этой системе и её связям с негативными симметриям была посвящена часть предыдущего доклада В. Э. Адлера на данном семинаре.

Доклад основан на совместном исследовании с проф. А. В. Домриным, МГУ.

Одно из определений негативной симметрии интегрируемого уравнения даётся формулой u_t=(R-a)^{-1}(0), где R — оператор рекурсии, a — параметр. Такое расширение алгебры симметрий представляет интерес с разных точек зрения: 1) негативная симметрия может быть интересна как самостоятельное уравнение; 2) она содержит в себе информацию о всей интегрируемой иерархии, так как разложение по параметру a служит производящей функцией для высших симметрий; 3) имеются приложения в задаче построения конечномерных редукций, особенно в сочетании с классическими симметриями (что даёт подход к построению решений, выражающихся через высшие аналоги трансцендентов Пенлеве); 4) имеются связи с другими конструкциями, такими, как симметрии с квадратами собственных функций и преобразования Бэклунда. В докладе будут рассмотрены примеры, связанные с уравнениями КдФ, Буссинеска, Кричевера — Новикова и с цепочкой Вольтерры.

Одно из определений негативной симметрии интегрируемого уравнения даётся формулой u_t=(R-a)^{-1}(0), где R — оператор рекурсии, a — параметр. Такое расширение алгебры симметрий представляет интерес с разных точек зрения: 1) негативная симметрия может быть интересна как самостоятельное уравнение; 2) она содержит в себе информацию о всей интегрируемой иерархии, так как разложение по параметру a служит производящей функцией для высших симметрий; 3) имеются приложения в задаче построения конечномерных редукций, особенно в сочетании с классическими симметриями (что даёт подход к построению решений, выражающихся через высшие аналоги трансцендентов Пенлеве); 4) имеются связи с другими конструкциями, такими, как симметрии с квадратами собственных функций и преобразования Бэклунда. В докладе будут рассмотрены примеры, связанные с уравнениями КдФ, Буссинеска, Кричевера — Новикова и с цепочкой Вольтерры.

На основе пространственно-временной алгебры седеонов сформулированы симметричные уравнения для полей с ненулевой массой кванта. Рассматривается обобщение калибровочной (градиентной) инвариантности уравнений с учетом ненулевой массы кванта. Обсуждается модель взаимодействия точечных барионов.

1. V. L. Mironov, S. V. Mironov. Sedeonic equations in field theory, Advances in Applied Clifford Algebras, 30, 44 1-26 (2020).
2. S. V. Mironov, V. L. Mironov. Sedeonic equations of massive fields // International Journal of Theoretical Physics, 54(1), 153–168 (2015).
3. V. L. Mironov, S. V. Mironov. Gauge invariance of sedeonic equations for massive and massless fields, International Journal of Theoretical Physics, 55, 3105 (2016).

В докладе будет рассмотрена дзета-функция Римана и способ получения функционального соотношения для нее, основанный на интегральных представлениях: классической формуле Плана и интегральном представлении Бине. Будет введено обобщение дзета-функции Римана, а именно дзета-функция корней некоторого класса целых функций, указана связь с классической дзета-функцией Римана.

Основным результатом доклада являются интегральные представления для дзета-функции корней, аналог формулы Плана и формулы Бине. Открытая задача: функциональное уравнение для дзета-функции корней, аналогичное функциональному уравнению для дзета-функции Римана.

Групповая классификация одномерных кинетических уравнений (о которой рассказывалось в прошлом докладе) и которая выполнялась с целью исследования возможности установления связи между кинетическими уравнениями и уравнениями сплошной среды с использованием группового подхода, помимо уравнений с максимальной (8-мерной) группой симметрий, которые эквивалентны уравнению с отсутствующим внешним силовым полем, дала еще ряд уравнений с субмаксимальными группами симметрий (размерности три). Эти уравнения связаны с весьма экзотическими силовыми полями, рассмотрение которых можно было бы считать малоинтересным с точки зрения приложений, если бы группы симметрий в самых экзотических случаях не оказались бы в точности совпадающими с группами движений двумерных (в пространстве переменных (t, x)) римановых метрик постоянной кривизны.

Это поставило вопрос о том, какова геометрическая сторона полученной классификации? Что это означает с геометрической точки зрения? Попытки усмотреть какие-то геометрические интерпретации в остальных субмаксимальных случаях успеха не имели до тех пор, пока рассмотрения велись в пространстве переменных (t, x). Помог здесь достаточно странный, с точки зрения физики, сдвиг исходных позиций, состоящий в том, что геометрия стала рассматриваться не в двумерном, а в трехмерном пространстве (t, x, c), включающем, помимо прежних переменных — времени и координаты — еще и скорость.

Такой ход позволил совсем по-другому взглянуть на геометрию. Поскольку размерность рассматриваемого пространства переменных оказалась совпадающей с размерностью группы, искомая геометрия автоматически оказывалась и геометрией самой группы. То есть речь пошла уже о том, возможно ли на самой группе Ли задать риманову геометрию так, чтобы она была инвариантна относительно этой группы? Ответ оказался положительный и простой, такая геометрия задавалась, как выяснилось, квадратичной формой с постоянными коэффициентами от n линейных дифференциальных форм, инвариантных относительно той же группы. При этом оказалось, что для любой такой квадратичной формы (для любых коэффициентов) траектории частиц в пространстве переменных (t, x, c) являются спиралями, то есть имеют постоянную кривизну и кручение. Основную же роль в обосновании этого факта сыграла алгебра, которая была названа двойственной, и которая определяется условием коммутации с исходной алгеброй. Траектории частиц, которые были упомянуты выше, оказываются траекториями однопараметрических подгрупп этой двойственной алгебры, и тот факт, что эти траектории являются спиралями, порождает массу вопросов об отношении этой геометрии к геометрическим конструкциям Э. Картана, который полагал траектории однопараметрических групп геодезическими.

Рассматриваются три обратные задачи отыскания неизвестной функции и неизвестного младшего коэффициента в эллиптическом уравнении с граничными данными различного типа и интегральным условием переопределения на границе исследуемой области. Также исследуются условия стабилизации сильного решения обратной задачи для уравнения соболевского типа к решению одной из этих задач. Оператор 𝑀 предполагается сильно эллиптическим и самосопряженным.

Основными результатами работы являются теоремы существования и единственности сильного обобщенного решения исходных задач, а также достаточные условия непрерывной зависимости решений этих задач от исходных данных. Кроме того, к основным результатам относятся достаточные условия стабилизации сильного решения обратной задачи для уравнения соболевского типа к сильному решению соответствующей стационарной обратной задачи для эллиптического уравнения с интегральным условием переопределения на границе.

Существование и единственность доказываются методом, суть которого состоит в продолжении данных с границы в область и сведении обратной задачи к операторному уравнению второго рода, для неизвестного коэффициента.

Практический интерес к данным задачам обусловлен тем фактом, что в многочисленных приложениях коэффициенты исходного уравнения характеризуют физические свойства среды: проницаемость, теплопроводность и так далее. В рассмотренных задачах неизвестным является коэффициент поглощения.

В классических работах (см. [1]) уравнения для полей предлагаются без вывода правых частей. Здесь мы даем вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна в рамках уравнений Власова — Максвелла — Эйнштейна из классического принципа наименьшего действия [2-4], а также их гидродинамических и Гамильтон — Якобиевых следствий [2-4]. Ускоренное расширение Вселенной, отмеченное Нобелевской премией по физике в 2011 году, вызывает пристальное внимание. Общепринятым объяснением сейчас является добавление лямбда-члена Эйнштейна в релятивистское действие. И хорошо известно, что в нерелятивистской теории это соответствует добавлению отталкивающего квадратичного потенциала [2-4]. Мы изучаем решение типа Фридмана [2-4] (модель Милна — Маккри) и точки Лагранжа с таким потенциалом [4].

1. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ЛКИ, 2007.
2. Веденяпин В. В., Воронина М. Ю., Руссков А. А. О выводе уравнений электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия. Доклады РАН, 2020, том 495, с. 9–13.
3. V. V. Vedenyapin, N. N. Fimin, V. M. Chechetkin. The generalized Friedman model as a self–similar solution of Vlasov–Poisson equations system // European Physical Journal Plus, 136, No 670 (2021).
4. В. В. Веденяпин, В. И. Паренкина, А. Г. Петров, Чжан Хаочэнь. Уравнение Власова — Эйнштейна и точки Лагранжа // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2022. № 23, 23 с.

Доклад посвящен операторным тождествам для лагранжиана и гамильтонову подходу к связи симметрии уравнений с законами сохранения, а также тождеству Лагранжа для уравнений, не имеющих вариационной постановки. Мы также рассматриваем разностные уравнения и ОДУ с запаздывающим аргументом и соответствующие операторные тождества.

Доклад основан на совместных работах с Романом Козловым, Павлом Винтерницем, Сергеем Мелешко и Евгением Капцовым.