Отчет ИВМ СО РАН за 2010 годПроекты СО РАН
Проекты СО РАН, выполняемые совместно со сторонними научными организациямиПроект № 89. «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» Координаторы проекта: член-корреспондент РАН В. В. Шайдуров; академик КАН Чун Лин (Qun Lin), ИВМиНИР КАН, г. Пекин Ответственный исполнитель от ИВМ СО РАН: член-корреспондент РАН В. В. Шайдуров Блок 1. Метод траекторий и метод конечных элементов для уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Работа направлена на численное решение системы уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Для этого привлекается комбинация методов траекторий и конечных элементов. Метод траекторий заключается в аппроксимации суммы первых производных каждого уравнения системы (субстанциональных производных) назад по времени вдоль траекторий движения частиц. Для основного решателя используются разности первого порядка аппроксимации, а для повышения порядка сходимости используется прием уточнения разностями более высокого порядка. Оставшиеся слагаемые в уравнениях аппроксимируются традиционным методом конечных элементов с линейными, квадратичными и кубическими элементами. В итоге получается устойчивый метод решения с третьим или четвертым порядком сходимости при соответствующей гладкости решения задачи. Совокупность методов не требует согласования триангуляций на соседних временных слоях, что значительно облегчает динамическое разрежение или сгущение триангуляций по времени для оптимизации вычислительной работы или улучшения аппроксимации в пограничных слоях и ударных волнах. Для решения систем алгебраических уравнений используется многосеточный метод с внешними итерациями по нелинейностям. Предлагается алгоритм численного решения уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа, в основе которого лежат метод траекторий и метод конечных элементов для решения модифицированных уравнений Навье-Стокса, обеспечивающих повышение точности приближенного решения. Проведены тестовые расчеты. Реализована задача о распространении теплового импульса в газе. Апробированная компьютерная модель используется для изучения одномерных геодинамических процессов. Блок 2. Метод повышенной точности для решения уравнения переноса. Построен разностный метод повышенной точности для решения уравнения переноса. Метод строится на основе устойчивой схемы первого порядка точности. Для повышения точности используется схема, которая имеет четвертый порядок аппроксимации, однако не обладает устойчивостью. При построении этой схемы левая часть уравнения, которая представляет собой полную (Лагранжеву) производную по времени, аппроксимируется с помощью метода траекторий. В результате комбинации этих схем получается итерационный метод, обеспечивающий четвертый порядок точности. Основные публикации:
(Отдел вычислительной математики)
Проект № 103. «Законы сохранения, инварианты, точные и приближенные решения для уравнений гидродинамического типа и интегральных уравнений» Координаторы проекта: д.ф.-м.н., проф. С. Б. Медведев, д.ф.-м.н., проф. М. Ю. Филимонов, д.ф.-м.н., проф. К. В. Кошель Ответственный исполнитель от ИВМ СО РАН: д.ф.-м.н., проф. О. В. Капцов Изучалось ассоциативное кольцо линейных дифференциальных операторов с коэффициентами из поля нулевой характеристики, порожденное двумя дифференцированиями и единицей поля. Получены достаточные условия того, что два дифференциальных оператора являются образующими левого идеала, аннулирующего конечное число элементов поля. Конструктивно строятся операторы, аннулирующие заданные элементы поля. Полученные операторы действуют на множестве решений дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Основные публикации:
(Отдел вычислительных моделей в гидрофизике)
Проект № 116. «Моделирование, оптимизация и устойчивость конвективных течений» Координатор проекта: член-корреспондент РАН В. В. Пухначёв Блок 1: Исследование устойчивости состояния равновесия и стационарных течений в неклассических моделях конвекции Ответственный исполнитель от ИВМ СО РАН: д.ф.-м.н., проф. В. К. Андреев 1. Исследовано инвариантное решение уравнений движения вязких смесей, которое интерпретируется как однонаправленное движение в цилиндрической трубе с общей границей раздела, происходящее под действием термокапиллярных сил. Получены априорные оценки скорости, температуры и концентрации. Найдено стационарное состояние и показано, что оно является предельным при больших временах. Установлено, что термокапиллярный эффект совместно с кривизной поверхности раздела может порождать возвратные течения. В изображениях по Лапласу получено точное аналитическое решение. Даны примеры численного восстановления полей скоростей в зависимости от геометрических и физических параметров жидкостей. 2. Рассмотрена задача об однонаправленном стационарном течении двух несмешивающихся бинарных смесей с общей поверхностью раздела в системе плоских слоев, ограниченных двумя твердыми стенками, вдоль которых задано линейное распределение температуры, и на них отсутствует поток вещества. Показано, что под действием термоконцентрационных сил в системе возникает стационарное течение типа Куэтта, а распределение температуры и концентрации описывается полиномами третьего порядка. Для исследования устойчивости полученного решения выписана система амплитудных уравнений при условии недеформируемости поверхности раздела. Найдено длинноволновое приближение. Оказалось, что бесконечно длинные волны монотонно затухают, однако уже в первом приближении возникают колебания за счет влияния неоднородностей температур и концентраций. Полная спектральная задача решена методом ортогонализации С. К. Годунова, адаптированным для задачи с граничными условиями на твердых стенках и поверхности раздела. Найдена зависимость декремента C от волнового числа κ. Обнаружено, что течение становится более устойчивым при возрастании числа Марангони, что связано с усилением термокапиллярного эффекта на поверхности раздела. 3. Исследована задача о возникновении конвекции в двух бинарных смесях с общей границей раздела, ограниченных снизу твердой стенкой, сверху (2-я смесь) — свободной границей. В положении равновесия температуры и концентрации в смесях имеют постоянные вертикальные градиенты, пропорциональные одному управляемому параметру — линейной комбинации потока тепла и разности температур твердой стенки и свободной границы. Поэтому за основной безразмерный параметр берется число Марангони свободной границы. Показано, что длинноволновые возмущения данного равновесного состояния имеют две моды: тепловую и гидродинамическую. Обе они затухают монотонно; получены вторые приближения комплексного декремента (первые оказались нулевыми) по волновому числу. Оказалось, что «гидродинамический» декремент во втором приближении уже зависит от деформации поверхности раздела и свободной границы, а также от возмущений температур и концентраций на них. Найдены критические числа Марангони для монотонных возмущений. Численный анализ механизмов неустойчивостей (число Марангони зависит от 12-ти безразмерных параметров) дает достаточно сложную картину поведения системы. В частности, без учета деформаций границ система будет неустойчивой при подогреве свободной поверхности в области длинных волн; для коротких волн система будет устойчивой как при подогреве твердой стенки, так и свободной границы. Деформация границ раздела приводит к понижению критического значения числа Марангони. 4. С целью изучения механизма глубинной циркуляции вод оз. Байкал рассмотрена задача об устойчивости однонаправленного конвективного течения слабо сжимаемой жидкости. Движение жидкости описывается уравнениями Обербека-Буссинеска, в которых используется квадратичная зависимость плотности жидкости от температуры и давления. Другим важным фактором, формирующим конвекцию в естественных водоемах, является непрерывно идущий процесс обмена теплом между водной массой и окружающей средой. Причем имеет место существенный вертикальный теплообмен между приповерхностными водами и атмосферой не только в безледный период, но и через ледяной покров. В уравнение энергии добавлена общая энергетическая функция теплового источника FW(z,t) = σκR exp(−κz). В случае объемного поглощения (проникновения солнечной радиации в среду) мощность тепловых источников FW определяется параметрами: σ — отношение интенсивности солнечной радиации к радиационному балансу R на поверхности воды, κ — показатель ослабления солнечной радиации в воде (показатель поглощения). Найдено точное решение, описывающее однонаправленное течение в области, ограниченной твердыми стенками. Решение содержит независимый параметр. В рамках линейной теории исследована устойчивость полученного решения. На основе численных расчетов показано, что имеет место монотонная неустойчивость, определены критические длины волн возмущений, приводящих к неустойчивости. Построены нейтральные кривые Gr(k) в зависимости от волнового числа для различных значений потоков тепла, заданных на верхней стенке, и показателя поглощения. Светопоглощающие свойства среды имеют стабилизирующее влияние. 5. Рассмотрена задача об устойчивости стационарного течения жидкой пленки, увлекаемой потоком газа. Исследовано влияние расходов жидкости и газа (скоростей сред) и сил гравитации на характер возникающих структур. Для системы FC-72-азот показано, что возникающие неустойчивости могут приводить к образованию различных форм течения. Появление продольных валов обусловлено термокапиллярным эффектом. Для больших значений чисел Рейнольдса Rei и Reg наблюдается сосуществование продольных полос, порожденных силами Марангони, и поперечных гидротепловых волн, которые распространяются на поверхности под углом к основному течению. Построены нейтральные кривые Ma(k) монотонной и колебательной неустойчивости. 6. Решена задача о движении круглой «затопленной» струи вязкой жидкости. Движение происходит под действием нестационарного перепада давления. При этом в окружающей струю другой вязкой жидкости также возникает нестационарное движение. Методом преобразования Лапласа прослежена эволюция полей скоростей и температур и проведены численные расчеты для конкретных жидкостей. Основные публикации:
(Отдел дифференциальных уравнений механики)
|
||||||||||||||||
| Webmaster |