Группы и паркетогранники

Атлас расположен на сайте Красноярского алгебраического семинара

Для построения в 2-группах Голода бесконечных подгрупп, порождённых тремя инволюциями доказана

Теорема 1. Пусть $n \geq 2, \, m \geq 2$, свободный моноид $S$ со свободными порождающими
$ x_1, x_2,\ldots,x_n $ содержит такой подмоноид
$S_Y=\langle y_1, y_2,\ldots,y_m \rangle$, что из $z_l \in S \backslash S_Y$ и 
$z_r \in S \backslash S_Y$ следует, что в $S_Y$ не попадают множества $z_lS_Y,$
$S_Yz_r$ и $z_lS_Yz_r.$ Тогда в свободной ассоциативной алгебре $F^{(1)}$ многочленов без свободного члена от неперестановочных переменных $x_1, x_2,\ldots, x_n$ над произвольным полем можно построить такой однородный идеал $I,$ что 

а) фактор-алгебра $A=F^{(1)}/I$ является нильалгеброй,

б) её подалгебра $B=\langle y_1+I, y_2 + I, \ldots, y_m +I \rangle$ ненильпотентна,

в) нильпотентна каждая $(m-1)$-порождённая подалгебра алгебры $B$.

Теорема 2. Пусть $F^\circ$ — присоединённый моноид с умножением $\circ:$
$$a \circ b = a + b + ab, \,\,\, a,b \in F^{(1)};$$
$a_j=x_j + I,\, j=1,2,\ldots,n$;\\
$p$ --- простое число и $G_I=\langle a_1, a_2,\ldots,a_n \rangle$ — подгруппа присоединённой группы нильалгебры $F^{(1)}/I$. Тогда в 2-группе $G_I=\langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ подгруппа $$H = \langle a_2^{a_3}a_2, \,\, a_2^{a_1}a_2 \rangle$$ бесконечна, причём $|a_2|=2$. }

Следствие. Подгруппа $\langle a_2, \, {a_2}^{a_1}\,,a_2^{a_3}\rangle$ группы $G_I$ бесконечна.

Настоящий доклад имеет цель выполнить расширение исследования многогранников трехмерного евклидова пространства на аналогичные многогранники в многомерных пространствах. Этот шаг является обобщением задачи Пряхина об изучении выпуклых многогранников с паркетными гранями в трехмерном евклидовом пространстве.

Определение 1. Паркетной гранью называется выпуклый многоугольник, который составлен из правильных многоугольников при помощи подклейки друг к другу правильных многоугольников по целому ребру.

При таком определении возможно появление условных вершин на паркетных многоугольниках. Если рассматривать паркетные грани без условных вершин, то из списка числа типов граней Пряхина удаляются почти все грани, но некоторое количество, составленные из двух или трех правильных граней, останется. С гранями без условных вершин все выпуклые многогранники были найдены в работах Залгаллера В. А., Гурина А. М. и Тимофеенко А. В.

При переходе к общим типам паркетных граней появляется необходимость детального пояснения о предмете исследования на уровне определения. Примером является грань шестиугольная, для которой проявляется свойство быть и просто правильной гранью и быть паркетной гранью. Если шестиугольник расположен в списке паркетных граней, то понимается, что он составлен из треугольников с условной вершиной в центре грани.

Свойством шестиугольной грани обладают еще две правильные грани, которые входят в список паркетных граней Пряхина. Аналогично, обратившись к многогранникам с правильными гранями, можно указать многогранники, составленные в свою очередь из иных многогранников с правильными гранями. Залгаллер разделил многогранники на простые и составные при помощи операции разбиения многогранника плоскостью. А именно, если плоскость дает разбиение многогранника на два многогранника с правильными гранями, то он называется составным. В противном случае –- простым. Другие авторы назвали простым многогранник, все вершины которого трехгранные. Очевидно, что определение Залгаллера не противоречит, а обобщает второе определение простого многогранника. Если же рассматривать правильные грани в классе паркетных граней, то простой многогранник, например, тетраэдр, теряет простоту и по первому и по второму определению. Существуют и иные выпуклые многогранники с правильными гранями, которые не простые по Залгаллеру, но составлены из выпуклых многогранников с правильными гранями. Учитывая это обстоятельство, дадим

Определение 2. Выпуклый многогранник с правильными гранями называется паркетным, если он составлен из выпуклых многогранников с правильными гранями.

В многомерном пространстве употребляется выражение гипергрань, как грань наибольшей размерности. Очевидно, что кроме граней наибольшей размерности, существуют грани всех промежуточных размерностей, начиная от двумерных граней. Существование паркетных гиперграней типа шестиугольника в пятимерном евклидовом пространстве доказывает

Теорема. Четырехмерный куб представим как совокупность пирамид с правильными двумерными гранями над трехмерными кубами.

Доказательство теоремы выполняется при помощи задания вершин гиперкуба и вычисления общей, аналогично шестиугольнику, вершины разбиения.

Гиперболическая плоскость Ĥ положительной кривизны реализуется на идеальной области плоскости Лобачевского и имеет общий с плоскостью Лобачевского абсолют, овальную линию γ, и общую фундаментальную группу G преобразований. Все прямые плоскости Ĥ по наличию общих точек с абсолютом отнесены к трем типам. Гиперболические (эллиптические) прямые пересекают абсолют в двух действительных (мнимо сопряженных) точках. Параболические прямые являются касательными к абсолюту. Исследованы объекты плоскости Ĥ, образованные отрезками параболических прямых, циклически соединяющих точки последовательности A_1, A_2, …, A_n, названные n-контурами, [1-3].

В связи с использованием n-контуров в разбиениях плоскости Ĥ, [3], встает вопрос их классификации. В работе [2] предложено классифицировать n-контуры по типу расположения на абсолюте точек сторон n-контура. Классифицированы контуры размерности n = 3, 4, 5, 6. Доказано, что при названных n существует 1, 2, 4, 20 типов контуров соответственно. Сформулирована задача: найти число типов n-контура при заданной его размерности n. Алгоритм решения задачи намечен в работе [2].

Цитированная литература. [1] Л. Н. Ромакина, Конечные замкнутые 3(4)-контуры расширенной гиперболической плоскости// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 10:3(2010), 14–265. [2] Л. Н. Ромакина, Конечные замкнутые 5-контуры расширенной гиперболической плоскости// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 11:1(2011), 38–494. [3] Л. Н. Ромакина, Простые разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны// Матем. сб., 203:9(2012), 83–116.

Окончательная редакция программы работы секций N1,2 27-28 ноября (http://socialforum.kspu.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=57&Itemid=1), технические вопросы проведения телеконференции.

На обсуждение выносится общая схема доказательства теоремы о классификации простых многогранников с паркетными гранями.

Кроме представления новых результатов из препринта Н. С. Черникова и нового взгляда на часть условий конечности Шункова, некоторые участники семинара побывали на могиле В. П. Шункова и поделились воспоминаниями в день 80-летия со дня рождения Владимира Петровича.

Будут представлены кристаллографические группы: порождающие их матрицы, генетический код, подгрупповые отношения, разложимость в полупрямое произведение,а также аппроксимация конечными группами с представлениями в системах компьютерной алгебры и графики.

Обсуждается трехмерное фазовое пространство всевозможных поляризаций плоской электромагнитной волны, его визуализация и применение к объяснению экспериментальных спектров жидких кристаллов.

skype: avtimofeenko

Красноярское время = московское + 4 ч.

Представление статьи для Вестника КГПУ о многогранниках, имеющих сферу, касающуюся всех ребер, и сферу, содержащую все вершины.