Группы и паркетогранники

I will talk about asymptotic group theory, which concerns with group properties that hold asymptotically almost surely. These include random groups (finitely presented, nilpotent, solvable, periodic, finite, etc.), random subgroups, generic properties, and 0-1 laws.

Основные вопросы теории паркетогранников опубликованы как проблема 20 на стр. 282 статьи Н. В. Масловой, И. Н. Белоусова, Н. А. Минигулова ОТКРЫТЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СФОРМУЛИРОВАННЫЕ НА XIII ШКОЛЕ-КОНФЕРЕНЦИИ ПО ТЕОРИИ ГРУПП, ПОСВЯЩЕННОЙ 85-ЛЕТИЮ В.А. БЕЛОНОГОВА, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 3, ред. В. И. Бердышев, 2020. Необходимые определения и более детально сформулированные задачи можно найти во введении работы Е. С. Карпова, А. В. Тимофеенко, О разбиениях усечённого икосаэдра на паркетогранники, Чебышевский сб., 19, №2(2018), 447–476, http://www.mathnet.ru/links/246ca2d56cc2ceead69dc0d810d0824c/cheb666.pdf Планируется демонстрация методов доказательства на базе систем компьютерной алгебры и графики. Эти исследования перекликаются с исследованиями В. И. Субботина и Я. В. Кучериненко. Возможно и они скажут несколько слов о своей работе.

Видеозапись доклада и его обсуждение доступна по адресам https://cloud.mail.ru/public/59db/8LWQBDtU3 и https://drive.google.com/file/d/1Si8YF3ku0ewrCCkIo3YTE6p8jIFyQvBl/view?usp=sharing

Из письма Я. В. Кучериненко 18 ноября 2020 г.: мы с Виталием Сергеевичем рассмотрели возможность существования многогранника Иванова Q_1 в S^3 и в Л^3 + получили четырёхмерный изоэдр с 12-ю гранями Q_1. А результаты по правильногранным многогранникам в пространстве Лобачевского (в частности серию правильногранных пирамид) Виталий Сергеевич получил в сотрудничестве с Петром Витальевичем Макаровым, а не со мной. Работы тем интересны, что там появляются счётные и даже континуальные серии многогранников. Вот некоторые ссылки, которые мне удалось обнаружить, что-то я должен был Вам присылать, может быть есть и что-то ещё:

МАКАРОВ В. С., МАКАРОВ П. В. О многогранниках с правильными гранями в пространстве Лобачевского // Материалы XIII Международного семинара Дискретная математика и ее приложения имени академика О. Б. Лупанова (Москва, МГУ, 17–22 июня 2019 г.) / Под редакцией О. М. Касим-Заде. — Изд-во механико-математического факультета МГУ Москва, 2019. — С. 310–312. http://new.math.msu.su/department/dm/data/uploads/seminar13/book/dmseminar2019–193-336.pdf

Макаров В. С., Макаров П. В. Правильногранные многогранники трехмерного пространства Лобачевского//в сборнике Современные проблемы математики и механики. К 100-летию со дня рождения Н. В. Ефимова, 2011г., серия Математика. Выпуск 3, место издания Московского ун-та, Москва, том 6, с. 69-77

Макаров В. С. Правильные многогранники и многогранники с правильными гранями трехмерного пространства Лобачевского // Материалы X Международного семинара Дискретная математика и ее приложения (Москва, 1-6 февраля 2010 г.). — Изд-во механико-математического факультета МГУ Москва, 2010. — С. 58–66.
http://new.math.msu.su/department/dm/data/uploads/seminar_dm/sem10_2010_part1.pdf

Макаров В. С., Макаров П. В. Правильные многогранники и многогранники с правильными гранями трехмерного пространства Лобачевского // Труды V Всероссийской научной школы «Математические исследования в естественных науках». Апатиты, 12–14 октября 2009 г. / Сост. и ред. Ю. Л. Войтеховский. – Апатиты: Изд-во K & M, 2009. — С. 43–65. http://geoksc.apatity.ru/images/stories/Print/m5.pdf

Макаров В. С., Макаров П. В. О выпуклых многогранниках с правильными гранями в пространстве Лобачевского // Материалы VIII Международного семинара Дискретная математика и ее приложения (Москва, 2-6 февраля 2004 г.). — Изд-во механико-математического ф-та МГУ Москва, 2004. — С. 402–405.

В докладе рассматривается класс идеальных (все вершины лежат на абсолюте) прямоугольных (все двугранные углы равны $\pi/2$) многогранников в пространстве Лобачевского. Простейшим многогранником этого класса является октаэдр. Получены оценки на объемы многогранников через число их граней, улучшающие оценку Аткинсона. Описано множество всех многогранников данного класса, имеющих не более 23 граней. Обсуждается гипотеза об отсутствии узлов, дополнения к которым допускают разбиение на идеальные прямоугольные многогранники.

Доклад основан на совместной работе с А. Егоровым [1].

[1] A. Vesnin, A. Egorov, Ideal right-angled polyhedra in Lobachevsky space, Chebyshevskii Sbornik 2020, vol. 21, no. 2, pp. 65-83. Preprint version is available at arxiv:1909.11523.

Начало доклада в 20 часов

We investigate the existence of hyperbolic, spherical or Euclidean structure on cone manifolds whose underlying space is the three-dimensional sphere and singular set is a given two-bridge knot. For two-bridge knots with not more than 7 crossings we present trigonometrical identities involving the lengths of singular geodesics and cone angles of such cone manifolds. Then these identities are used to produce exact integral formulae for volume of the corresponding cone-manifold modeled in the hyperbolic, spherical and Euclidean geometries.

Доклад посвящен топологическим свойствам многомерных аналогов фрактальных квадратов — фрактальным k-мерным кубам. Фрактальные квадраты, при всей их простоте, в последние годы стали объектом пристального внимания нескольких исследователей. В 2009 г. Л. Кристеа и Б. Штайнски в работах [3,4] исследовали фрактальные лабиринты — вид фрактальных квадратов, являющихся дендритами. В 2013 г. К. Лао, Дж. Луо и Х. Рао [7] описали топологическую структуру фрактальных квадратов. Тогда же М. Бонк и С. Меренков [2] получили для них условия квазисимметрической жесткости. В более поздних работах [8,9] были изучены вопросы липшицевой эквивалентности фрактальных квадратов.

Согласно топологической классификации фрактальных квадратов, полученной в 2013 г. К.-С. Лау с соавторами, всякий фрактальный квадрат F ⊂ R^2 либо вполне несвязен, либо является замыканием несвязного объединения параллельных сегментов, либо содержит отличную от отрезка или точки связную компоненту. В основе этой классификации лежит рассмотрение свойств Z^2-периодического расширения H = F + Z^2 и его дополнения H^c=R^2\H. Фрактальный квадрат F содержит отличную от отрезка или точки связную компоненту тогда и только тогда, когда соответствующее дополнение H^c содержит ограниченную связную компоненту.

Мы строим и исследуем фрактальный куб F в R^3, для которого множество H^c связно, а все компоненты K_α куба F отличны от точки или отрезка. При этом множество Q связных компонент K_α куба F обладает следующими свойствами:
Q — вполне несвязное самоподобное подмножество гиперпространства C(R3), билипшицево изоморфное канторову множеству C_{1/5};
все множества K_α + Z^3 бесконечносвязны и попарно не пересекаются;
множество значений хаусдорфовых размерностей dim_H(K_α) есть промежуток в R.

1. Barnsley M. F., Hutchinson J. E., Stenflo Ö. V -variable fractals: Fractals with partial self similarity // Adv. Math. 2008. Vol. 218, no. 6. P. 2051–2088. doi:10.1016/j.aim.2008.04.011 .
2. Bonk M., Merenkov S. Quasisymmetric rigidity of square Sierpinski carpets// Annals Math. 2013.
Vol. 177. P. 591—643. doi:10.4007/annals.2013.177.2.5 .
3. Cristea L. L., Steinsky B. Curves of infinite length in 4 × 4-labyrinth fractals // Geom. Dedicata.
2009. Vol. 141. P. 1–17. doi: /10.1007/s10711–008-9340-3 .
4. Cristea L. L., Steinsky B., Curves of infinite length in labyrinth fractals // Proc. Edinb. Math. Soc.II. Ser. 2011. Vol. 54, no. 2. P. 329–344. doi: 10.1017/S0013091509000169 .
5. Falconer K. J. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. N Y: J. Wiley and Sons, 1990. 288 p. ISBN: 0471922870 .
6. Hutchinson J. Fractals and self-similarity // Indiana Univ. Math. J. 1981. Vol. 30, no. 5. P. 713–747. doi: 10.1512/iumj.1981.30.30055.
7. Lau K.S., Luo J.J., Rao H. Topological structure of fractal squares // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 2013. Vol. 155. P. 73–86. doi: 10.1017/S0305004112000692.
8. Luo J.J., Liu J.-C. On the classification of fractal squares // Fractals. 2016. Vol. 24, no. 1. Art.- no. 1650008. doi: 10.1142/S0218348X16500080 .
9. Ruan H. J., Wang Y. Topological invariants and Lipschitz equivalence of fractal squares // J. Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 451. P. 327–344. doi: 10.1016/j.jmaa.2017.02.012 .
10. Tetenov A. V. Finiteness properties for self-similar sets: [e-resource]. arXiv:2003.04202 [math.MG]. 12 p.
11. Tetenov A. V., Drozdov D. A. On the connected components of fractal cubes: [e-resource]. arXiv:2002.02920 [math.MG]. 6 p.

Начало доклада в 20 часов.

Соизмеримость физических величин помогает в предварительной оценке правильности формул и уравнений. Подобно этому геометрическая соизмеримость помогает отвергнуть неверные результаты на раннем этапе, а также указать на те, у которых есть шанс оказаться верными. В докладе будет предпринята попытка использовать геометрическую соизмеримость для нахождения уравнения объёма в нелинейных пространствах.

Начало доклада в 20 часов.

В торической топологии (см. [BP15]) каждому n-мерному комбинаторному простому выпуклому многограннику P с m гипергранями сопоставляется (m + n)-мерное момент-угол многообразие \mathcal{Z}_P с действием компактного тора T^m, таким что пространство орбит \mathcal{Z}_P /T_m является геометрической реализацией многогранника P. Простой n-мерный многогранник P называется B-жёстким, если любой изоморфизм градуированных колец H*(\mathcal{Z}_P, \mathbb{Z}) = H*(\mathcal{Z}_Q, \mathbb{Z}) для простого n-мерного многогранника Q влечёт комбинаторную эквивалентность P = Q. \mathbb{Z}_2 — характеристическая функция – это отображение множества гиперграней многогранника в \mathbb{Z}_2^n (где \mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) такое, что для каждой вершины образы содержащих её гиперграней образуют базис. Каждой \mathbb{Z}_2-характеристической функции соответствует n-мерное многообразие, получаемое склейкой 2^n копий многогранника. Оно называется малым накрытием над многогранником. Малое накрытие над компактным прямоугольным многогранником в пространстве Лобачевского \mathbb{L}^3 имеет структуру гиперболического многообразия (такие многообразия
были также построены в [V87]). В работе [BEMPP17] доказано, что если два таких трёхмерных гиперболических многообразия имеют одинаковые градуированные кольца когомологий над \mathbb{Z}_2, то они гомеоморфны. Характеристические функции возникают в том числе из раскрасок гиперграней в n или (n + 1) цветов таких, что смежные грани имеют разный цвет.

В центре нашего внимания находятся трёхмерные идеальные прямоугольные многогранники в \mathbb{L}^3. Все вершины таких многогранников лежат на абсолюте, а все двугранные углы прямые. Известно, что рёберные графы трёхмерных идеальных прямоугольных многогранников – это в точности медиальные графы выпуклых трёхмерных многогранников. Вершины медиального графа – это середины рёбер многогранника. Две 
такие вершины соединены ребром, если соответствующие им рёбра являются соседними в некоторой грани. Это соответствие играет ключевую роль в теореме Кёбе-Андреева-Тёрстрона о том, что каждый комбинаторный трёхмерный многогранник может быть реализован в евклидовом пространстве так, что все его рёбра касаются сферы.

Теорема. [E20] Простой трёхмерный многогранник, получаемый одновременной срезкой всех вершин трёхмерного идеального прямоугольного многогранника, является B-жёстким.

Такой простой многогранник P имеет каноническую раскраску в три цвета. Один цвет отвечает срезаемым вершинам идеального многогранника, а два других – вершинам и граням выпуклого многогранника при реализации идеального многогранника через его медиальный граф. Раскраске соответствует трёхмерное многообразие M§.

Следствие. Если многообразия M§ и M(Q) имеют одинаковые градуированные кольца когомологий над \mathbb{Z}_2, то они гомеоморфны.

Многообразие M§ является дублем трёхмерного многообразия N с краем ∂N, то есть склеено из двух его копий по общей границе. В дополнении до края каждая копия имеет гиперболическую структуру, а каждая компонента края является плоским двумерным тором. Многообразие N\∂N гомеоморфно некомпактному гиперболическому многообразию конечного объёма, отвечающему раскраске граней идеального многогранника в два цвета (конструкция описана в [V17]).

Список литературы

[BP15] Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. Math. Surv. and Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
[BEMPP17] В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, М. Масуда, Т. Е. Панов, С. Пак, Когомологическая жесткость многообразий, задаваемых трёхмерными многогранниками, УМН. 2017. Т. 72, No 2 (434). С. 3–66.
[V87] А. Ю. Веснин,Трехмерные гиперболические многообразия типа Лёбелля, Сиб. мат. журн. 1987. V. 28, N 5. P. 50–53.
[V17] А. Ю. Веснин, Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия, УМН. 2017. Т.72, No 2(434). С. 147–190.
[E20] N. Erokhovets, B-rigidity of ideal almost Pogorelov polytopes, arXiv:2005.07665v3.

Начало доклада в 20 часов.

We discuss our new «Siamese twins construction» of non-injective discrete representations of uniform hyperbolic lattices with arbitrary large kernels. This construction can be considered as an enhancement to the conformal category of the Gromov-Piatetski-Shapiro interbreeding construction for creation of non-arithmetic uniform hyperbolic lattices in any dimension \cite{GP}. First non-arithmetic 3-dim hyperbolic lattices were constructed in 1966 by V. S. Makarov \cite{M}. This disproved the Borel-Selberg conjecture on arithmeticity of crystallographic hyperbolic groups. The main application of our construction is:
\begin{theorem}\label{%метка на теорему в формате первые три буквы английской фамилии первого автора подчеркивание t подчеркивание номер ссылки
per_t_1}
For any large natural $N$ there exist a natural number $m\geq N$, a uniform hyperbolic lattice
$\Gamma\subset\operatorname{Isom} H^3$ and its discrete representation
$\rho\,:\,\Gamma\rightarrow G\subset\operatorname{Isom} H^4$ such that its kernel is a free subgroup $F_m\subset\Gamma$ of rank $m$.
\end{theorem}

This new phenomenon brings several advances in the study of a variety of conjugacy classes of discrete representations of uniform hyperbolic lattices $\Gamma\subset \operatorname{Isom} H^3$ into the isometry group of the hyperbolic 4-space, $\rho\!:\! \Gamma\rightarrow G\subset \operatorname{Isom} H^4$. They may have connected components whose dimensions differ by arbitrary large numbers -cf. \cite{A4, A6}. Another application is to deformations of hyperbolic 3-manifolds/orbifolds and their Teichm\"{u}ller spaces of conformally flat structures -cf. \cite{A1}, \cite{A3}-\cite{A6}.
Such non-injective discrete representations of uniform hyperbolic lattices with arbitrary large kernels are related to our method of block-building of hyperbolic 4-cobordisms, their «bending» deformations and the group growth in hyperbolic groups. Also this has several applications (solving old problems) to differential geometry, topology and geometric analysis. This is related to W. Thurston «non-rigidity theorem» for cusped hyperbolic 3-manifolds (the Dehn surgery — cf. \cite{A3}), to varieties of conformally flat structures on closed hyperbolic 3-manifolds, to the shape of non-trivial compact 4-dimensional cobordisms $M$ (cf. \cite{AT}, \cite{A4}) whose interiors have complete hyperbolic structures (how the global geometry and topology of such cobordisms depends on properties of the variety of discrete representations of the fundamental group of its boundary $\partial M$ -cf. \cite{A1, A3}), to different ergodic actions of a uniform hyperbolic 3-lattice \cite{A6}, as well as to M. A. Lavrentiev, Pierre Fatou and Matti Vuorinen problems on locally homeomorphic quasi-regular mappings in 3-space \cite{A7}, cf. \cite{BBH}, \cite{HL}, \cite{L}, \cite{Ri}, \cite{Vu}.
\begin{thebibliography}{17}
\bibitem[1]{A1} Boris Apanasov,
\textit{Nontriviality of Teichm\"uller space for 
Kleinian group in space.} — In: Riemann Surfaces and Related
Topics, Proc. 1978 Stony Brook Conference (I. Kra and 
B. Maskit, eds), Ann. of Math. Studies \textbf{97},
Princeton Univ. Press, 1981, 21--31.
\bibitem[2]{A2} Boris Apanasov,
\textit{Неполные гиперболические многообразия и локальная конечность разбиений пространства полиэдрами. — Доклады АН СССР,} 273(1983), 777–781; = English translation: Incomplete hyperbolic manifolds and local finiteness of tesselations of space by polyhedra. — Soviet Math. Dokl., 28 (1983), 686–690.
\bibitem[3]{A3} Boris Apanasov,
\textit{Conformal geometry of discrete groups and manifolds.} — De Gruyter Exp. Math. \textbf{32}, W. de Gruyter, Berlin — New York, 2000.
\bibitem[4]{A4} Boris Apanasov,
\textit{Nonstandard uniformized conformal structures on hyperbolic manifolds.} — Invent. Math. \textbf{105}, 1991, 137--152.
\bibitem[5]{A5} Boris Apanasov,
\textit{Hyperbolic 4-cobordisms and group homomorphisms with infinite kernel.} — Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena Reggio Emilia \textbf{57}, 2010, 31--44.
\bibitem[6]{A6} Boris Apanasov,
\textit{Group Actions, Teichm\"uller Spaces and Cobordisms.} — Lobachevskii J. Math., \textbf{38}, 2017, 213–228.
\bibitem[7]{A7} Boris Apanasov,
\textit{Topological barriers for locally homeomorphic quasiregular mappings in 3-space.} — Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. \textbf{43}, 2018, 579--596.
\bibitem[8]{A8} Boris Apanasov,
\textit{Hyperbolic topology and bounded locally homeomorphic quasiregular mappings in 3-space.} — (Bogdan Bojarski Memorial Volume), J. Math. Sci. \textbf{242}, 2019, 760--771
\bibitem[9]{A9} Boris Apanasov,
\textit{Non-faithful discrete representations of hyperbolic lattices, hyperbolic 4-cobordisms and applications.} — Preprint, Univ. of Oklahoma, 2020, 25 pp.
\bibitem[10]{AT} Boris N. Apanasov and Andrei V. Tetenov,
\textit{Nontrivial cobordisms with geometrically finite hyperbolic structures.} — J. of Diff. Geom. \textbf{28}, 1988, 407--422.
\bibitem[11]{BBH}K. F. Barth, D. A. Brannan and W. K. Hayman,
\textit {Research problems in complex analysis}, Bull. London Math. Soc. \textbf{16}, 1984, no. 5, 490--517.
\bibitem[12]{GP} Mikhael Gromov and Ilia I. Piatetski-Shapiro,
\textit{Non-arithmetic groups in Lobachevsky spaces}, Publ. Math. IHES \textbf{66}, 1988, 93–103.
\bibitem[13]{HL} W. K. Hayman and E. F. Lingham,
\textit{Research problems in function theory.} — ArXiv: 1809.07200
\bibitem[14]{L} Mikhael A.~Lavrentiev,
\textit{On a class of continuous mappings}, Mat. Sbornik, \textbf{42}, 1935, 407--424. (in Russian).
\bibitem[15]{M} В. С. Макаров, “Об одном классе дискретных групп пространства Лобачевского, имеющих бесконечную фундаментальную область конечной меры”, Докл. АН СССР, \textbf{167}:1 (1966), 30–33;
V. S. Makarov,
\textit{On a certain class of discrete groups of Lobachevsky space having an infinite fundamental region of finite measure},
Doklady Akad. Nauk USSR \textbf{167}, 1966, 30–33. (in Russian)
\bibitem[16]{Ri} Seppo Rickman,
\textit {Quasiregular Mappings.} — Ergeb. Math. Grenzgeb. \textbf{26},
Springer, Berlin–Heidelberg, 1993.
\bibitem[17]{Vu} Matti Vuorinen,
\textit{Conformal geometry and quasiregular mappings.} — Lecture Notes in Math \textbf{1319}, Springer,
Berlin-Heidelberg, 1988.

\end{thebibliography}

Начало доклада в 20 часов.

С 21 часа участники семинара делятся воспоминаниями о В. С. Макарове, https://math.msu.ru/node/1385

Первая из трёх 45-минутных лекций на школе конференции https://group.imm.uran.ru/Program носит вводный характер: Группы симметрий, квазикристаллы и разбиения пространства на многогранники. В настоящем объявлении написано красноярское время начала лекции (MSK+4; UTC+7, Екатеринбург+2).

Будут рассмотрены заявки, связанные с циклом лекций докладчика на школе-конференции.

В режиме лабораторной работы планируется снять все вопросы, связанные с отсутствием опыта применения названной системы.

Очевидно, (2 × 2, 2)-тройки инволюций группы, переводимые друг в друга её автоморфизмами, обладают одинаковыми пятёрками, см. заседание 13 июля 2020 г. Существуют ли для одной пятёрки две такие (2 × 2, 2)-тройки, что любой автоморфизм этой группы не отображает одну из них на другую?

Состояние вопроса, исследованного в работе докладчиков «О нахождении (2 х 2, 2)-троек инволюций конечных групп». Материалы VIII Всероссийской с международным участием научно-методической конференции «Информационные технологии в математике и математическом образовании», посвященной 80-летию профессора Ларина Сергея Васильевича. Отв. редактор В. Р. Майер; Красноярский государственный педагогический университет им. В. П. Астафьева, 2019. С. 63–72.

Напомним, что если группа симметрий многогранника действует транзитивно на множестве его флагов, то сам многогранник в евклидовом пространстве каждой конечной размерности над полем действительных чисел называется правильным. Флагом трёхмерного многогранника называется тройка, состоящая из его вершины $F_0$, ребра $F_1$ и грани $F_2$ таких, что $F_0 \in F_1 \subset F_2$. В докладе будут рассмотрены многогранники с более слабыми, чем правильность условиями и разбиения пространства на такие тела. Ослабление правильности сводится, как правило, к переходу от транзитивности на флагах к локальной транзитивности на множествах $F_0$ и(или) $F_1$. На конечные и бесконечные группы симметрий будем смотреть с общей точки зрения, изложенной в работе [В.~А.~Артамонов, С.~Санчес, О группах симметрий квазикристаллов, {\it Матем. заметки} \textbf{87}, №3(2010) 323–329], а для классических групп симметрий применены обозначения Коксетера-Джонсона, см., например, «Группы и паркетогранники», 9 марта 2018 г.

Возможен также обмен мнениями о приложениях и коммерциализации ведущихся участниками вэбинара исследований.

Анализ существующих и перспективы развития алгебро-геометрических ресурсов, аппаратно расположенных на серверах ИВМ СО РАН, КГПУ им.В. П. Астафьева, СФУ и ХГУ им. Н. Ф. Катанова.