Группы и паркетогранники

Макосий Алексей Иванович (ХГУ им. Н. Ф. Катанова, Абакан), Тимофеенко А. В.
О задачах, необходимых для решения проблемы классификации паркетогранников

Решённые и открытые задачи, необходимые в процессе привлечения к исследованиям многогранников потенциальных участников решения проблемы классификации типов паркетогранников, были рассмотрены на заседании 16 декабря 2013 г. Они конкретизированы и дополнены новыми задачами. Некоторые из них сформулированы под новые алгебраические и компьютерные модели многогранников, а также переферийные устройства: 3Д-принтер, очки виртуальной реальности и т.п. Имеется видеозапись.

Часть задач планируется отобрать для опубликования в учебном пособии, одноимённым с названием доклада, запланированным к изданию в КГПУ им.В. П. Астафьева на II квартал 2019 г., а также в журнале «Компьютерные инструменты в образовании».

Итоги работы вэбинара в 2018 г. Планы издания видиозаписей заседаний вэбинара в 2018–2019 гг. Подготовка сборников докладов: обзор журнальных публикаций результатов, доложенных на вэбинаре; подготовка сборников статей (РИНЦ) докладчиков к апрелю (Конференция «Молодёжь и наука XXI века») и к ноябрю 2019 г. (Конференции в рамках VIII форума «Человек, семья и общество: история и перспективы развития»).

Заседание

Кучериненко Ярослав Викторович (МГУ им. М. В. Ломоносова, геологический факультет)
Символы симметрии по Шёнфлису и международные символы (Германа-Могена), применяемые кристаллографами и химиками для обозначения симметрии кристаллов

Изложены принципы обеих символик и их сравнение с символами Коксетера, основанными на символах Шлефли правильных многогранников. Рассмотрены примеры. Сделана видеозапись

Заседание

Окладникова Евгения Сергеевна
Опыт привлечения учащихся средних образовательных учреждений, студентов и всех заинтересованных лиц к изучению паркетогранников

Рассмотрены решённые и открытые задачи, необходимые в процессе привлечения к исследованиям многогранников потенциальных участников решения проблемы классификации типов паркетогранников. Сделана видеозапись.

Заседание

Тимофеенко Алексей Викторович
Алгебраические модели паркетогранников и автоматизация процесса их соединения одинаковыми гранями

Определения некоторых моделей из названия доклада и модели трёхскатного купола $M_4$ (тело Джонсона $J_3$) см. в предложениях 1 и 2 на с.61 издания http://poivs.tsput.ru/conf/international/XV/files/conference2018.pdf

Ушёл из жизни замечательный человек, выдающийся математик, действительный член Академии криптографии РФ, профессор Михаил Михайлович ГЛУХОВ (20 ноября 1930 года — 9 декабря 2018 года). Результаты М. М. Глухова по алгебре, по теории чисел, а также по их приложениям внесли замечательный вклад в развитие как теоретических, так и практических разделов математики. Его многогранная научно-организаторская деятельность и редакторская работа в журналах «Дискретная математика», «Математические вопросы криптографии» и «Чебышевский сборник» всегда способствовали углублению отечественных научных исследований и притоку молодых научных кадров.

Прощание с Михаилом Михайловичем Глуховым начнётся в 12 часов 13 декабря на Троекуровском кладбище.

Заседание

Окладникова Евгения Сергеевна (Красноярск, ИМФИ КГПУ им.В. П. Астафьева)
Усечённый октаэдр [4,6,6] и другие выпуклые тела, составленные из правильногранных пирамид (по материалам магистерской диссертации)

Представлены, в частности, все разбиения на паркетогранники с рёбрами длины 1 или 2 тела [4,6,6] с единичными рёбрами (Е. С. Окладникова, А. В. Тимофеенко СОСТАВЛЕННЫЕ ИЗ ПРАВИЛЬНОГРАННЫХ ПИРАМИД ПАРКЕТОГРАННИКИ КАК СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ОСНОВА ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ СТАРШЕКЛАССНИКОВ Информационные технологии в математике и математическом образовании: материалы VII Всероссийской научно-методической конференции с международным участием. Красноярск, 14–15 ноября 2018 г. [Электронный ресурс] / отв. ред. В. Р. Майер; Стр. 151–160.) https://elibrary.ru/download/elibrary_36416399_57258736.pdf Диссертация выложена в Электронной Библиотечной Сети: http://elib.kspu.ru/document/32900

Заседание

Карпова (Отмахова) Елена Сергеевна, Тимофеенко А. В.
О паркетных сечениях икосаэдра

Рассмотрена направляемая в Чебышевский сборник работа, часть результатов которой обсуждалась на весенних заседаниях вэбинара.

Заседание

Казанцев Виктор Александрович, Тимофеенко Алексей Викторович
Паркетогранники и группы на конференциях в Геленджике, Москве и Туле

Локализация проблем, обсуждавшихся на трёх международных конференциях. Анализ доказательства теоремы о классификации типов паркетных многоугольников. Подготовка статей с результатами, доложенными на конференциях, в журналы: Труды ИММ УрО РАН, Communications in Mathematics and Statistics, Фундаментальная математика, Алгебра и Анализ, Чебышевский сборник, Труды международного геометрического центра, журнал списка Оргкомитета конференции «Суперкомпьютерные дни в России.

Созутов Анатолий Ильич, Тимофеенко Алексей Викторович
Грантовые заявки

Анализ предложений фондов о международном сотрудничестве

Заседание

Тимофеенко Алексей Викторович
Выпуклые тела с правильными или равносторонними паркетными гранями

Обсуждение пленарного доклада на конференции в Туле http://poivs.tsput.ru/conf/international/XV/uch_sections.php

Всероссийская научно-практическая конференция «Теоремы с применением систем компьютерной алгебры, графики и приложения» форума «Молодёжь и наука XXI века»

Капцов Олег Викторович (Красноярск, ИВМ СО РАН)
Компьютерная алгебра в теории волн на воде

Изучается основная модель
$$ \eta_{tt} = gh_0 \eta_{xx} + \frac{3}{2}g(\eta^2)_{xx} +
\frac{1}{3}gh_0^3\eta_{xxxx}, $$
где $g$ — ускорение свободного падения; $h_0$ — невозмущенная глубина;
$\eta$ — отклонение поверхности воды от невозмущенного состояния.
С помощью преобразований
$\eta^\prime =2h_0\eta, \quad
t^\prime = \sqrt{3g/h_0}t, \quad
x^\prime = \sqrt{3}x/h_0, $
оно приводится к виду
$$ \eta^{\prime}_{t^\prime t^\prime} = \eta^{\prime}_{x^\prime x^\prime} +
3(\eta^{\prime 2})_{x^\prime x^\prime} +
\eta^{\prime}_{x^\prime x^\prime x^\prime x^\prime} . \eqno (1)$$

Выделены базовые типы волн, из которых построены новые решения уравнения (1) и его производных.

Ермилов Николай Олегович (Астраханский госуниверситет)
Примеры решения задач на стыке геометрии, компьютерных технологий и практических потребностей

Практика работы с инженерами-изобретателями и коллегами из производственных сфер деятельности показала, что такие междисциплинарные проекты по приложениям геометрии, учитывающие современные возможности, очень актуальны. Ранее в двух работах --- в том числе в материалах предыдущего форума --- уже были описаны такие прецеденты, ( https://elibrary.ru/item.asp?id=30059256, с.34-36; https://kpfu.ru/portal/docs/F_1549733697/GEOMETRY2017_finish.pdf, с.45--47). В докладе показано какие ещё направления возможно развивать в рамках приложений геометрии. Приведены примеры этих приложений.

а) Работа с фрактальной графикой возникла в рамках исследования того, как комплексные числа применяются в программирование дизайнерских 2-D
приложений. И здесь основная задача была подтвердить, что фракталы Мандельброта и Жюлиа действительно создаются при помощи комплексных чисел.

б) Изготовление поисковой системы создания наиболее комфортной обуви по меркам заказа клиента. Здесь выявлялись наиболее важные
метрические параметры обуви, выявлялась шкала погрешностей измерений и выводилась функция метрики пространства поиска.

в) Практика показала, что при раскрое материала, который потом будет принимать определённую форму надо по одним параметрам, которые нужны заказчику, определить другие геометрические параметры. Приводится
интерфейс калькулятора для расчёта поликарбонатных конструкций. Здесь
выводилась функция метрики пространства поиска.

Безусловно, коллекция направлений такой прикладной геометрической деятельности будет пополняться такими направлениями, как кватернионы в компьютерной графике и навигации, определение расстояний на сфере в логистических задачах и др.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

Макосий А. И. (Абакан, Хакасский госуниверситет им. Н. Ф. Катанова), Тимофеенко Алексей Викторович (КГПУ им.В. П. Астафьева)
Параллельные алгоритмы в поиске систем порождающих группу инволюций

Результаты обсуждаемой на заседании 13 апреля 2018 г. работы и другие применения параллельных вычислений представлены.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

Пуртокас Светлана Викторовна (Красноярск, ИМиФИ СФУ)
Алгебраические модели паркетогранников и группы их симметрий

Электронные атласы компьютерных моделей групп и паркетогранников представлены как инструменты исследования аллгебраических моделей.

Леонтьев Владимир Маркович, Шилова Наталья Геннадьевна (Красноярск, ИМиФИ СФУ)
Приложения групп симметрий некоторых паркетогранников

Решена задача описания группы Aut P симметрий выпуклого многогранника P, грани которого правильные или сложены из правильных многоугольников так, что каждая вершина этого многоугольника служит и вершиной грани, для ряда таких многогранников P. Продемонстрирована технология создания по фундаментальным вершинам тела P и порождающим группы его симметрий алгебраической и компьютерной моделей многогранника P. Сделана видеозапись доклада.

Алманцева Ольга Сергеевна, Южакова Ольга Сергеевна (Красноярск, ИМиФИ СФУ)
О применении групп симметрий некоторых паркетогранников

Подводятся итоги работы команды студентов ИМиФИ СФУ над построением групп симметрий паркетогранников.

Сенашов Владимир Иванович, Белов Дмитрий Константинович (Красноярск, ИМиФИ СФУ)
Визуализация мощностей слоев бесконечных групп

Слоем группы называется множество всех её элементов одного порядка. Слойно конечные группы ввёл и начал изучать в середине прошлого века С. Н. Черников. Сформулированная в названии доклада задача решена для некоторых известных групп таких, как квазициклическая (группа Прюфера) и прямые произведения квазициклических групп.

Сенашов Владимир Иванович (Красноярск, ИВМ СО РАН), Герасимова А. М. (Красноярск, ИМиФИ СФУ)
Восстановление слойного графа группы по его фрагменту

Слойным графом называется граф Кэли, у которого элементы каждого порядка, расположены на своём слое. Напомним, что слоем группы называется множество элементов одного порядка. Решается задача восстановления графа группы по его фрагменту, или недостающей информацию об этом графе: направление стрелок, подписи элементов, подписи слоев и восстановление самого графа.

Синицин Владимир Михайлович (Красноярск, ИМиФИ СФУ)
Об определяющих соотношениях групп с симпликтическими 3-транспозициями

В работе А. И. Созутова, А. А. Кузнецова и автора http://www.mathnet.ru/links/4680d2adfcc49f643a9690595920502c/semr413.pdf и её продолжениях были найдены порядки некоторых групп, порождённых 3-транспозициями. Для этих групп и их гомоморфных прообразов найдено строение, т.е. изоморфизм на известные группы.

Окладникова Е. С., Тимофеенко Алексей Викторович (Красноярск, ИМФИ КГПУ им.В. П. Астафьева)
Разбиения усечённого октаэдра $M_{16}$ ( архимедова тела [4,6,6]) на правильногранные пирамиды

Алексеев М. Н., Казанцев В. А., Тимофеенко Алексей Викторович (Красноярск, ИМФИ КГПУ им.В. П. Астафьева)
К теореме о классификации типов паркетных многоугольников

Заседание

Макосий Алексей Иванович, Тимофеенко А. В.
Суперкомпьютерные технологии нахождения системы порождающих группу инволюций

В рамках обсуждения статьи, направляемой на конференцию “Суперкомпьютерные дни в России” (http://RussianSCDays.org), рассматриваются следствия и приложения результатов распараллеливания поиска систем порождающих группу инволюций. Уточним задачу нахождения систем порождающих группу троек инволюций.

Каждую $(2 \times 2,2)$-тройку инволюций характеризует пятёрка\\ $(m,n,A_1,A_2,A_3)$, где $m,n$ --- порядки произведений $i_1i_3$, $i_2i_3$ неперестановочных инволюций и $m \leq n$, а $A_k$ --- имя класса сопряженных инволюций, содержащего инволюцию $i_k, \, k=1,2,3$ (эти имена обычно записывают как $2A,2B,\ldots$). Мы не различаем $(2 \times 2,2)$-тройки инволюций, имеющие одинаковые пятерки указанного вида. Цель настоящей работы заключается в создании инструментов нахождения таких пятёрок для максимально возможного количества групп. Результаты вычислений сформулируем в виде следующей теоремы.

\textbf{Теорема}. Если $G$ --- знакопеременная группа $A_l$ степени $l \le 16$ или спорадическая группа Матье, Янко $J_1, J_2, J_3$, Хигмана-Симпса $HS$, Сузуки $Suz$, Рудвалиса $Ru$ или Маклафлина $McL$, то расположенные в Атласе (http://ftp.kspu.ru/moodle/t/index.html) пятёрки $(m,n,A_1,A_2,A_3)$ и только они соответствуют $(2 \times 2, 2)$-тройкам инволюций группы $G$.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

Тимофеенко А. В.
К итоговому отчёту по гранту РФФИ №16–41–240670

Кроме обсуждения неформальных итогов работы по гранту и перспектив подачи новых заявок, каждый участник проекта представляет в форме, требуемой фондом (kias.rfbr.ru): 1) список своих публикаций по гранту, 2) выступлений на научных мероприятиях, включая настоящий вэбинар, 3)текст отчёта, соответствующий тексту заявки, 4)напечатанный и подписанный лист СОГЛАСИЯ, которое выдаёт система kias.rfbr.ru

Заседание

Макосий Алексей Иванович, Тимофеенко А. В.
Об электронных атласах порожденных инволюциями групп и паркетогранников, заданных фундаментальными вершинами и порожающими групп их симметрий

Наиболее компактные представления групп и многогранников применяются в доказательстве их новых свойств. Выносятся на обсуждение и формы названных представлений.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

О конференциях, статьи для которых направляются в апреле 2018 г.

Обсуждение материалов, направляемых на школу по теории групп (Геленджик, ИММ УрО РАН, Куб.госуниверситет), международные конференции по алгебре (МГУ к 110-летию со дня рождения А. Г. Куроша), по геометрии и алгебре (Тула), суперкомпьютерным вычислениям (МГУ, 24-25 сентября). Подготовка к молодежной конференции «Теоремы с применением систем компьютерной алгебры, графики и приложения» с 13 часов 20 апреля в информцентре РОСАТОМА (http://kras.myatom.ru/ ).

Заседание

Алексеев М. Н., Казанцев Виктор Александрович, Тимофеенко А. В.
К теореме о классификации паркетных многоугольников

Выпуклый многоугольник называется \textit{паркетным}, если он составлен из конечного и большего единицы числа равноугольных многоугольников. Пять лет назад впервые опубликовано (https://elibrary.ru/download/elibrary_18916660_22855050.pdf ) доказательство анонсированной в 1974 г. (http://www.mathnet.ru/links/912e770045f78bb1ea0801d12333dc6d/znsl2750.pdf) классификации паркетных многоугольников. Введены более короткие, чем в оригинале обозначения всех 23 типов паркетных многоугольников:

$3a=(3^3)$;
$4a=(3^2,6^2), 4b=(3,6,3,6),4c=(4^4)$;
$5a=(3,6^4), 5b=(3,12,4^2,12)$;
$6a=(3,12^2,3,12^2), 6b=(3,30,5^3,30),6c=(4^2,12,6^2,12), 6d=(6^6)$;
$7a=(3,12^2,6^2,12^2), 7b=(3,30,5,30,3,30^2),7c=(4,12,6,12,4,12^2), 7d=(5^3,30,6^2,30)$;
$8a=(3,30^2,6^2,30,5,30), 8b=(4,12^2,4,12^4),8c=(6^2,12^2,6^2,12^2)$;
$9a=(5,30,6^2,30^2,6^2,30), 9b=(6,12^2,6,12^2,6,12^2)$;
$10a=(6,12^2,6,12^6), 10b=(6,12^4,6,12^4)$;
$11a=(6,12^{10})$;
$12a=(12^{12})$.

Выяснено каким типам не могут соответствовать равносторонние многоугольники. Получены ответы на некоторые другие, необходимые для классификации вопросы.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

Заседание

Тимофеенко Алексей Викторович
Представления групп, порождённых отражениями от гиперплоскостей

Рассматривается геометрическое, линейное, подстановочное и генетическим кодом представления групп из названия доклада. Выносится на обсуждение приложение этих представлений компьютерных моделей групп в классификации паркетогранников и в других задачах.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

Заседание

Карпова(Отмахова) Е.С., Тимофеенко Алексей Викторович
Применение групп движений в классификации паркетных сечений икосаэдра

Часть таких сечений найдена, см.стр. 330—331. URL: http://kpfu.ru/portal/docs/F1397737406/Proceedings_fpaag_2016.pdf и стр.132–136 http://elib.kspu.ru/document/23422 Однако для окончания построения всех сечений процесс их поиска потребовал большей алгоритмизации и применения названных в теме доклада групп.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

О подготовке к международному математическому конгрессу 2022 г.

Выносится на осуждение ряд проблем, решение которых достойно представления на международном математическом конгрессе.

Заседание

Михайлов А. Н., Тимофеенко Алексей Викторович
О представлениях групп движений евклидовых пространств малых размерностей

В докладе применены следующие ниже обозначения некоторых групп из названия. Правее обозначения расположено название и в большинстве случаев описан многогранник такой группой симметрий или поворотов обладающий. Завершается описание каждой группы именем файла с её компьютерной моделью для системы компьютерной алгебры GAP. Группа

[n]^+ циклическая порядка $n$ поворотов неправильногранной правильной пирамиды с $n$-угольным основанием
c_n.txt

[2]^+ порядка два поворотов дважды наращенного трёхскатного прямого бикупола $P_{4,12}$
[]^+ единичная

[2,n]^+ поворотов диэдра порядка $2n$ (двойной правильной неправильногранной пирамиды с $n$-угольным основанием)
d_n.txt

[3,3]^+ поворотов тетраэдра
tetr.txt

[3,4]^+ поворотов куба
cube.txt

[3,5]^+ поворотов икосаэдра
icos.txt

[n] диэдральная симметрий неправильногранной правильной пирамиды с n-угольным основанием
2c_n.txt

[] порядка два симметрий наращенной 4-угольной пирамиды P_{2,22} (скошенной 3-угольной призмы)

[2^+,2n^+] расширяющая при нечётных n группу [n]^+ отражением от точки
2.c_n.txt

[2^+,2^+] порядка 2 отражения от точки (симметрий параллелепида с различными гранями в каждой вершине)

[2,n^+] расширяющая группу [n]^+ поворотов отражением от плоскости, перпендикулярной оси поворотов
d1cn.txt

[3,3] симметрий тетраэдра
tetr_2.txt

[3,4] cимметрий куба
cube_2.txt

[3^+,4] расширяющая отражением от точки группу поворотов тетраэдра
2.tetr.txt

[3,5] симметрий икосаэдра
icos_2.txt

[2,n] симметрий двойной правильной неправильногранной пирамиды с n-угольным основанием
d_1d_n.txt

[2,2] симметрий прямой ромбической призмы $P_{2,2}$

[2^+,2n] симметрий антипризмы $A_n$ порядка $4n$ при $n>3$;
d_2n.txt

[2^+,6] симметрий дважды наращенного октаэдра $P_{4,11}$ с шестью ромбическими гранями

[2^+,4] симметрий С-антипризмы $CA_2$

[2,2]^+ Клейна четверная поворотов (прямой ромбической призмы $P_{2,2}$)
4_Klein.txt

[2^+,2]=[2,2^+] Клейна четверная c вращательной симметрией (симметрий скошенного куба P_{4,30})
K4.txt

[2] Клейна четверная отражений (симметрий клинокороны P_{1,28}=M_{22})

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670

Заседание

Леонтьев Владимир Маркович, Окладникова Е. С., Тимофеенко А. В.
Электронный атлас групп движений евклидова пространства

С помощью атласов системы компьютерной алгебры ГАП и Атласа Р. Вилсона http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/ создаются удобные для визуализации фигур с данной группой симметрии представления групп из названия доклада.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.

Тимофеенко Алексей Викторович
Группы движений евклидова пространства в классификации выпуклых тел с гранями, составленными из правильных многоугольников

Выпуклые многогранники с правильными или составленными из правильных многоугольников гранями названы паркетогранниками. Завершено построение паркетогранников без фиктивных вершин, начатое около десяти лет назад А.~М.~Гуриным, В.~А.~Залгаллером и автором. Обсуждаются схемы построения каждого типа паркетогранника. Особое внимание уделено группам симметрий паркетогранников. Они играют существенную роль в этих схемах.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670

Заседание

Тимофеенко Алексей Викторович
О равнорёберных паркетогранниках

Будут изложены факты в пользу гипотезы существования только призм среди выпуклых равнорёберных паркетогранников, неправильные грани которых содержат содержат гранефиктивные вершины.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта №16–41–240670.